竞赛中的数学归纳法.doc

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1、竞赛中的数学归纳法（一）数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果:①当（）时，成立；②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．例1（07江西理22）设正整数数列满足：，且对于任何，有．（1）求，；（2）求数列的通项．解：（1）据条件得①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．（2）由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明:1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，，则时由①得,,因为时，，所以．，所以．又，所以,故，即时，成立．由

2、1，2知，对任意，．此题在证明时应注意，归纳奠基需验证的初始值又两个，即和。（2）第二数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①当（）时，成立；②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．例2已知对任意的且，求证：.证：（1）当时，因为且，所以，，命题成立；（2）假设时命题成立，即,当时，因为，所以，且，于是，因为，∴,从而，解得，（舍），即时命题成立.由（1）、（2）知，对一切自然数都有成立.证毕.这两种数学归纳法，是运用次数较多的方法，大家也比较熟悉，在这里就不赘述了。下面

3、介绍一下数学归纳法的其它形式。（二）数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法①当时，成立，②假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．例3证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形.证：（1）对于可按如图进行分割,假设当成立,当时，只要将其中一个正方形分割为4个正方形，即可得到个正方形.由（1）（2）对一切的自然数都成立.例4求证用面值3分和5分的邮票可支付任何n(n≥８)分邮资．证明显然当n=8,n=9,n=10时，可用3分和5分邮票构成上面邮资（n=8时，用一个3分

4、邮票和一个5分邮票，n=9时，用3个3分邮票，n=10时，用2个5分邮票）．下面假定k=n时命题正确，这时对于k=n+3，命题也正确，因为n分可用3分与5分邮票构成，再加上一个3分邮票，就使分邮资可用3分与5分邮票构成．由跳跃归纳法知命题对一切n≥８都成立．下面我们介绍双归纳法，所谓双归纳法是所设命题涉及两个独立的自然数对(m,n),而不是一个单独的自然数n．（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①对无限多个正整数成立；②假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据①②对一切正整数时，成立

5、．例4设都是正数，证明：证：（1）先证明有无限多个正整数，使命题成立.当（对任意的时），不等式成立，对用数学归纳法.①当时，即，因为，所以即不等式成立.②假设时成立，即；则当时因此时，不等式成立,故对于（对任意的时）命题成立.（2）假定时成立，即，于是当时，有对此式两边同时次方得,即成立，此为时不等式成立.由（1）、（2）知对一切自然数都有.(3)螺旋数学归纳法设、是两串与自然数有关的命题，如果①命题成立；②对任何自然数，命题成立，则命题成立；若命题成立，则命题成立.那么根据①②对一切自然数，命题与都成

6、立．最后，我们给出跷跷板归纳法．有两个与自然数有关的命题An与Bn，若(1)A1成立；(2)假设Ak成立，就推出Bk成立，假设Bk成立就推出Ak+1成立．则对一切自然数n,An与Bn都成立．A1B1A2B2AkBkAk+1这里我们只给出一个例子说明上述归纳法．例　已知求证证明　令，(1)当n=1时，所以A1成立．(2)所以A2成立．设Ak成立，则即Ｂk成立．若Ｂk成立，则即Ak+1成立．由跷跷板归纳法知，一切An和Bn都成立．例5已知数列定义如下：,求证：数列的前项和为.证：将命题记作，将命题记作

7、.（1）当时，有即成立.（2）证假设成立，即有于是故成立.（3）再证假设成立，即有于是即成立.综上，由螺旋归纳法原理，命题、对一切均成立.（4）二重数学归纳法（两个变量）设命题是与两个独立的自然数有关的命题，如果①对一切自然数成立，对一切自然数成立；②假设和成立时，可推证命题成立．则对所有自然数，命题都成立.例6设满足，其中是正整数，，且,求证：.证：（1）因为对于一切正整数与（），成立.即此命题为真.（2）假设成立，即成立.则,则命题成立，由二重数学归纳法知，对任意自然数都有（三）数学归纳法在高考中应

8、用例1（05江西卷）已知数（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k时有则而又∴时命题正确.由1°,2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时成立，所以对一切.（2）下面来求数列的通项：所以又bn=－1，所以.例2（07湖北卷）已知为正整数，（I）用数学归纳法证