高中数学易错题举例解析1.doc

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1、高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。一、忽视隐含条件，导致结果错误例1求函数y=的值域错解（用判别式法）将原函数变形得：(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0①当y=1时，①式化为–3x=9,有解x=3;当y≠1时，∵①式中x∈R∴△=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0即：25y2-20y+4≥0,解这个不等式得y∈R综上：原函数

2、值域为：y∈R分析没有注意定义域对值域的影响，扩大了y的取值范围。事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x-6≠0即x≠2且x≠-3,在此前提下，原函数可化为：y==(y-1)x=2y+1∴y≠1且x=≠-3解得y≠1且y≠用心爱心专心∴原函数值域为：y∈(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞)例2已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围。错解由已知得y2=-4x2-16x-12，因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+∴当x=-时，x2+y2有最大值即x2+y2的取值范围是(-∞,]分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限

3、制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+=1得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是[1,]一、忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。例3已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)2+(b+)2的最小值是8分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=用心爱心专心,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立

4、的。因此，8不是最小值。事实上，原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4=(1-2ab)(1+)+4由ab≤()2=得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是。例4甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。（1）把全程运输成本y（元）

5、表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？错解（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是，全程运输成本为y=a+bv2=s(+bv)用心爱心专心故所求函数即定义域为y=s(+bv),0＜v≤c（2）由题意s,a,b,v均为正数，故s(+bv)≥2s（当且仅当=bv时，即v=时，等号成立）∴v=时，全程运输成本最小。分析在（2）中，结论成立的条件是v=，但速度能否达到呢？没有注意实际问题中的条件限制，使解答不够完整。应分以下两种情况讨论：①若≤c,则当v=时，全程运输成

6、本最小。②若＞c,当0＜v≤c时,易证y是v的增函数，因此，当v=c时，全程运输成本最小。事实上，s(+bv)-s(+bc)=s[a(-)+b(v-c)]=(c-v)(a-bcv)∵c-v≥0且a＞bc2∴a-bcv≥a-bc2＞0∴s(+bv)≥s(+bc)（当且仅当v=c时，等号成立）综上所述，为使全程运输成本最小，当≤c时，行驶速度v=用心爱心专心；当＞c时，行驶速度v=c。用心爱心专心