4、函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇点的留数相对较容易，因此留数定理是计算复变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。32.留数的求法(1)常规方法:不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂，但如果知道奇点的类型，对求留数更有指导作用。(1)常规方法:将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，利用洛朗系数公式和留数定义可得计算留数的公式，即负幂项的系数。(3)a为本性奇点时，将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数来求(2)a为有限可去奇点时:运用留数定理计算复变函数闭合曲线积分，首先必须求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。(4
5、)a为极点时，有如下结论.4其中(z)在点a解析,(a)≠0，则:定理6.2设a为f(z)的n级极点,即推论6.3设a为f(z)的一级极点,则推论6.4设a为f(z)的二级极点,则定理6.5设a为的一级极点5例1求在的留数.解6例2求在的留数.分析是的三级零点由定理6.2得计算较麻烦.7如果利用洛朗展开式求较方便:解8说明:如为n级极点，当n较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求来计算留数.2.在应用定理6.2时,取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将n但有时把n取得比实际的如上例取9例3计算积分C为正向圆周:
6、解为一级极点,为二级极点,1011设,求留数计算积分逆时针方向。计算积分逆时针方向。练习求在的留数,其中a,b是实常数.123.函数在无穷远点的留数定义6.2设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N-{∞}：0≤r<
7、z
8、<+∞内解析，则称为f(z)在点∞的留数,记为,其中-是顺时针方向.设f(z)在0≤r<
9、z
10、<+∞内的洛朗展式为由逐项积分定理即知也就是说，等于f(z)在点的洛朗展式中项的系数的相反数。13定理6.6如果f(z)在扩充复平面C∞上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),则f(z)在各点的留数总和为零，即14例2利用无穷远点的留数计算积分例1计算积分函
11、数在无穷远点的留数的另一计算公式或写成如下形式15第二节用留数定理计算实积分1.计算型积分.2.计算型积分3.计算型积分某些实函数的积分难以直接计算，可设法化为复变闭合曲线积分，然后在利用留数定理计算积分值，这时计算某些实积分的有效途径之一。16表示,的有理函数,1.计算型积分并且在上连续.当z沿圆周
12、z
13、=1的正方向绕行一周，有这里令z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.17例1计算积分解则1819例2计算解令20极点为:(在单位圆内)(在单位圆外)21例3解故积分有意义.2223因此24思考题252.计算型积分引理6.1设f(z)
14、沿圆弧上连续，且于SR上一致成立(即与为互质多项式,且满足条件:(1)n-m≥2;定理6.7设为有理分式,其中0xa2aka1yza3a4中的无关),则（大圆弧引理）26例4计算积分解在上半平面有二级极点一级极点2728例5计算积分解在上半平面内有一级极点29303.计算引理6.2(约当Jordan引理)设：上连续,在上一致成立.则型积分R(2)(1)g(z)沿半圆周31特别说来,将(*)分开实虚部,就可以得到形如:则(2)Q(x)≠0,xR;(3)m>0.(*)定理6.8设，其中P(z)及Q(z)是互质多项式且满足条件(1)Q(z)的次数比P(z)的次数高；定理的证明类似于定
15、理6.7.32例6计算积分解在上半平面只有二级极点又33注意以上两型积分中被积函数中的Q(x)在实轴上无孤立奇点.344.计算上连续,且型积分Sr引理6.3设f(z)在圆弧于Sr上一致成立,则有证因,于是有分析类似于引理6.1.（小圆弧引理）35例6计算积分分析因在实轴上有一级极点应使封闭路线不经过奇点,所以可取图示路线:36解封闭曲线C:由柯西-古萨定理得:由3738当充分小时,总有39即40例7证如图路径，4142令两端实部与虚部分别相等，
