《复变函数论》(钟玉泉)课后复习答案.pdf

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1、第一章复变与复变函数（一）12321.解：z()()122Argz=argz+2k=arctan(3)2k2k(k0,1,2,)31ii2.解:因为ze4,z3i2e6122iz15i所以zz2e12,1e1212z2244443.解:由za0得za则二项方程的根为4w(1)a(k0,1,2,3)kki2kie4e4a(k0,1,2,3)aa因此w(1i),w(1i)0122aaw(1i),w(1i)23222224.

2、证明:因为zzzz2Re(zz)121212222zzzz2Re(zz)121212两式相加得2222zzzz2(zz)121212几何意义:平行四边形两队角线的平方和等于各边平方和.22225.证明:由第4题知zzzz2(zz)121212由题目条件zzz0知zzz123123可有zzz1232222222于是zz2(zz)zz2(zz)z312121212322同理zzzz32331所以zzzzzz3122331因此z,z,z是内接宇

3、单位圆的等边三角形的顶点.1236.解:(1)表示z点的轨迹是z与z两点连线的中垂线;不是区域.12(2)令zxyi,由zz4得2222xyi(x4)yi,即xy(x4)y,得x2因此,z点的轨迹是以直线x2为右界的右半平面(包括直线);不是区域.(3)同(2)zxyi,得x0,故z点的轨迹是以虚轴为左界的右半平面(包括虚轴;是区域.y0arg(z1)0arctan0yx1(4)由4得x14即2Rez32x32x3可知z点的轨迹是一梯

4、形(不包括上,下边界);不是区域.(5)z点的轨迹是以原点为圆心,2为半径以及(3,0)为圆心,1为半径得两闭圆的外部.是区域.(6)z点的轨迹的图形位于直线Imz1的上方(不包括直线Imz1)且在以原点为圆心,2为半径的圆内部分(不包括圆弧);是区域.(7)z点的轨迹是argz,半径为2的扇形部分;是区域.4i13i1(8)z点的轨迹是以(0,)为圆心,为半径以及(0,)为圆心,为半径的两闭2222圆的外部.是区域.7.证明:已知直线方程一般式为axbyc0(a,b,c)为实常数,a,b不全为零.zzzz以

5、x,y代入化简得22i11(abi)z(abi)zc0221令(abi)0得zzc02反之(逆推可得).8.证明:因为Z平面上的圆周可以写成zz其中z为圆心，为半径002所以zzzzzz000zzzzzzzz00002令A1,BzC,z，从而圆周可以写成00222AZZBZBZC0AC,为实数，且BzzAC00zz319.证明：可证为实数.zz2110.解:(1)令zxyit(1i),得xy,

6、即曲线为一,三象限的角平分线.(2)令zxyiacostibsint,得xacost,ybsint,则有22xy1,故曲线为一椭圆.22abt1(3)令zxyit(t0),可得xt,y,则xy1,故曲线为一双曲线.it221(4)令zxyit,得xt,y,即xy1(x0,y0),故曲22tt线为双曲线在第一象限内的一支.22211xyi111.解:(1)由于xyz4,又有w(xyi)22zxyixy4xy221221所以u,v,则uv(xy)

7、441641这表示在w平面上变成的曲线是以原点为圆心,为半径的圆周.211(2)将yx代入w,即uiv中得xyixyi11i1iuivx(1i)2x2x2x11于是u,v,因此vu,故曲线为w平面上二,四象限的角分线.2x2x1(3)同上将x1代入变换uiv得xyi11yiuiv21yi1y21y221y1于是u,v,且uvu222221y1y(1y)1y122111故解得(u)v,这表示曲线变成w平面上的一个以(,0)为圆心,2422为半

8、径的圆周.22(4)因(x1)y1,即可得zzzz011将z,z代入得ww11111ww0,即,因此ww1wwwwwwww1所以这表示曲线变成w平面上的一条过(,0)且平行于虚轴的直线.2n12.证明:(1)首先考虑函数f(z)z在z平面上的