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1、§1反常积分概念一、反常积分的背景反常积分讨论的是无穷区间上的积分和无界函数的积分，是定积分概念的推广.二、两类反常积分的定义返回一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火的有穷性;被积函数的有界性.上的“积分”或无界函数的“积分”.箭,要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大？解设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重处火箭所受的引力为于是火箭从地面上升到距地心为 处需作功力加速度为g,按万有引力定理,在距
2、地心时,其极限mgR就是火箭无限远离地由机械能守恒定律可求初速度 至少应使球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为例2圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有在时间dt内,桶中液面降低的微小量为dx,它们解桶内水位高度为时,流出水的速度为一半径为r的小孔．试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水,共需多少时间？因此之间应满足于是流完一桶水所需时间为但由于被积函数是上的无界函数,所以它的确切含义为二、两类反常积分的定义区间[a,u]上可积.若存在极限则称此极限J为函数f在上的无穷限反定义1设函数f定义在[a,+)上,且在任何有限常
3、积分(简称无穷积分),记作类似定义域内无界,但在任何内闭区间[u,b]上有界且可积.如果存在极限定义2设函数f定义在(a,b]上,在a的任意右邻则称此极限为无界函数f在(a,b]上的反常积分,类似定义瑕点为b时的瑕积分通常称a为f的瑕点.记作其中f在[a,b)有定义,在b的任一左邻域内无界,若f的瑕点,定义在任何上可积.例1讨论无穷积分解无穷积分的牛顿－莱布尼若f(x)的原函数为F(x),解例2讨论无穷积分因此茨公式写作例3讨论瑕积分的收敛性.解同样,若f(x)的原函数为F(x),瑕积分的牛顿-莱例4计算瑕积分解的瑕点为0.因此,
4、布尼茨公式写作是否必有上非负连续,是否可推得收敛?上定义,且复习思考题上非负连续,且收敛,
