材料力学-- 弯曲变形

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1、第七章弯曲变形1§7.2挠曲线的近似微分方程§7.3用积分法求挠度和转角§7.4用叠加法求挠度和转角第七章弯曲变形§7.5梁的刚度计算§7.1概述§7.6简单超静定梁§7.7梁的弯曲应变能§7.8提高弯曲刚度的措施2弯曲变形§7-1概述若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工作的平稳性。一、工程中的弯曲变形问题3弯曲变形若变形过大，不仅会影响齿轮的啮合和轴承的配合，使传动不平稳，磨损加快，而且还会严重地影响加工精度。又如，车床主轴：4弯曲变形又如，如图所示轮轴：若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工作的平稳性等。5弯曲变形但有时又有相反要求，要求构件有

2、适当变形，才能符合使用要求。如汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的求解。二、弯曲变形的量度－－挠度和转角FAB原为直线的轴线AB弯曲成光滑而连续的曲线，该曲线称为该梁的挠曲线。在平面弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的平面曲线。6竖直位移w称为挠度，取向上为正。x横截面的转角，和挠曲线在该截面形心处的切线与x轴的夹角相等。小变形：弯曲变形FABwx挠曲线方程：C任意截面形心C三位移：水平位移△x，竖直位移△w角位移，忽略=w角位移θ称为转角，逆时针方向为正。7弯曲变形§7.

3、2挠曲线的近似微分方程前一章已得到：纯弯曲梁横力弯曲梁（近似）任意曲线曲率或则有8AC弯曲变形[例7-2-1]画出下列梁的挠曲线大致形状。AmmCBLL解:①建立坐标系并作弯矩图wxAB段:∴w上凸BC段:同时B处须满足连续光滑条件，即曲线与直线在B点相切。边界条件:∴w=0mMACB－9弯曲变形[例7-2-2]等截面直梁，其挠曲线，长度为l，确定梁的载荷、支撑情况。故可确定其为悬臂梁。解:①作弯矩图、剪力图M6FFs+边界条件10转角方程挠度方程C、D为积分常数；由边界条件和连续性条件确定。边界条件:固定端：w＝0；θ＝0；铰支座：w＝0；弯曲变形的对称点：

4、θ＝0。连续性条件:挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个值。弯曲变形§7-3用积分法求梁的变形EI为常量EI为常量11lABq[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。解：(1)求支反力，列弯矩方程(2)建立挠曲线近似微分方程，并积分(3)利用边界条件确定积分常数弯曲变形RBRA12(5)求最大值(4)求转角方程、挠度方程lABq弯曲变形的对称点：θ＝0。弯曲变形边界条件：或13[例7-3-2]用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。alABFC解：(1)分段写弯矩方程(2)分段建立挠曲线近似微分方程，并积

5、分RARB弯曲变形14ABFCal(3)确定积分常数边界条件:连续性条件:(4)C截面的挠度和转角弯曲变形AC段：AB段：（1）（2）（3）15叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。叠加法：应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。前提条件：小变形，材料服从虎克定律。*表7-1弯曲变形§7-4用叠加法求梁的变形16=+[例7-4-1]用叠加法求C点挠度。解：①简单载荷引起的变形弯曲变形②叠加表7.1第7栏表7.1第9栏FqaaACBFaaACBqaaACB17[例7-4-2]用叠加法求

6、C点挠度。解:积分法弯曲变形表7.1第8栏q0l/2ABCl/218[例7-4-3]用叠加法求C截面的转角和挠度。alABFC解：(1)假设CA段为刚性，研究简支梁AB的变形所引起的C截面的转角和挠度FFaABCFAC(2)假设AB段为刚性，外伸段CA看作悬臂梁：表7.1第2栏表7.1第5栏(3)叠加法求C截面的挠度和转角弯曲变形19[例7-4-4]等截面刚架A端的水平位移xA和竖直位移yA。abEICEIPAB刚化ABABPC刚化BCPCABABCPa等价等价PAB解：(1)刚化AB段：(2)刚化BC段：弯曲变形20刚化AB:刚化BC:(3)叠加：ABCPa

7、PAB*逐段刚化法弯曲变形212aABq[例7-4-5]用叠加法求中点C挠度和梁端截面B的转角。CDE2l解：C为对称点，故C截面的转角为0。表7.1第2栏在RB作用下：表7.1第4栏在q作用下：BEqBElqBEa弯曲变形22一、刚度条件：叠加：弯曲变形2设计截面1刚度校核3确定许可载荷2aABqCDE2llqBEa§7-5梁的刚度计算或23CABDF2=2kNABF1=1kNDC[例7-5-1]一空心圆杆，内外径：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C点的[w/L]=0.0001，B点的[]=0.001弧度，试核此杆的刚度。+弯曲变形解：查表

8、求简单载荷变形叠加=L=0.4ma=