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《D16-2二元函数的极限.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2二元函数的极限与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数的增多,导致二元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.一、二元函数的极限二、累次极限返回一、二元函数的极限定义1设二元函数定义在上,为D的一个聚点,A是一实数.在对不致产生误解时,也可简单地写作则称在D上当时以A为极限,记作(也称为二重极限)2当P,分别用坐标表示时,上式也常写作说明：2.定义1中的方式是任意的；1.函数在P0点可以没有定义；3若P以某一种特殊方式趋于P0时,即使f(P)的极限为A，则不能断定二重极限存在.若P以两种
2、不同方式趋于P0时,f(P)的极限不同,则可肯定二重极限不存在.2.定义中的方式是任意的；确定极限不存在的方法：43.极限定义可推广到三元以上函数中去,且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.5例1依定义验证证因为不妨先限制在点(2,1)的方邻域内来讨论,于是有6当时,就有所以所以7例2设证明证(证法一)8故注意不要把上面的估计式错写成：因为的过程只要求即而并不要求9(证法二)作极坐标变换这时等价于(对任何).由于因此，对任何都有10的充要条件是:对于在以x0为极限的都存在且相等.定理3.8（归结原则）存在复习由归结原则，得：但是不存在.11推论1若,P0是E1的
3、聚点,使不存在,则也不存在．推论2若是它们的聚点，使得都存在，但,则不存在．定理16.5的充要条件是：12推论3极限存在的充要条件是：D中任一满足条件它所对应的函数列都收敛．13例3讨论当时是否存在极限．(注:本题结论很重要,以后常会用到.)解当动点(x,y)沿着直线而趋于定点(0,0)时，由于,即动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．m值不同极限不同!14解1516(非正常极限)的定义．定义2设D为二元函数f的定义域，是D的一个聚点.则称f在D上当时,有非正常极限,记作下面给出当时,或类似地可定义：17例5设.证明证只需取这就
4、证得结果．1819例(1)求极限解其中原式20例(2)求解原式21二、累次极限定义3的累次极限,记作22类似地可以定义先对y后对x的累次极限:注累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.23从而有同理可得即f的两个累次极限都存在而且相等.例6设.24当沿斜率不同的直线时,有即该函数的重极限不存在.它关于原点的两个累次极限分别为例7设,25例8设,26（1）两个累次极限存在且相等，但二重极限可能不存在.注：二重极限不同：与累次极限（2）二重极限存在，但两个累次极限可能都不存在.27定理16.6若f(x,y)的重极限与累次极限都存在
5、,则两者必定相等.证设则使得当时,有的x,存在极限又由累次极限存在,对任一满足不等式28对不等式(1)取极限,即有故由(2),(4)两式,得由(3)可得所以29,推论1若重极限和累次极限都存在,则三者必定相等.推论2若累次极限都存在但不相等,则重极限必定不存在.注:推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件推论2可被用来否定重极限的存在性(如例7).30注意:定理16.6保证了在重极限与一个累次极限都存在时,它们必相等.但对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论.31例设试证明:32证33根据柯西准则,证得利用条件(ii)与结论,34又有这就证得35注本例给出了二累
6、次极限相等的又一充分条件.与定理16.6的推论1相比较,在这里的条件(i)与(ii)成立时,重极限未必存在.36复习思考题试问累次极限是否就是动点例讨论在时不存在极限．解利用定理16.5的推论2,需要找出两条路径,沿着此二路径而使时,得到两个相异的极限．第一条路径简单地取此时有第二条路径可考虑能使的分子与分母化为同阶的无穷小,导致极限不为0.按此思路的一种有效选择,是取此时得到
