2013版高中数学 （主干知识典例精析）213定积分与微积分基本定理课件 理 新人教B版.ppt

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1、第十三节定积分与微积分基本定理三年8考高考指数:★★★1.了解定积分的实际背景、基本思想,了解定积分的概念；2.了解微积分基本定理的含义.1.定积分的计算与利用定积分求平面图形的面积是高考的重点；2.多以选择题、填空题的形式考查.属中、低档题.1.定积分的定义及相关概念设函数y=f(x)定义在区间［a,b］上，用分点a=x0

2、,当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间［a,b］上的定积分，记作_________,即=______________.其中______叫做被积函数，____叫积分下限，_____叫积分上限，________叫做被积式，此时称函数f(x)在区间［a,b］上可积.f(x)abf(x)dx【即时应用】(1)思考:积分与是否相等？提示:相等.定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量无关.(2)设f(x)在［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上的平均值为_________.【解析】由定积分的含义可知f(x)在［a,b］上的平均值为答案：2.

3、定积分的几何意义表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)≥0f(x)<0f(x)在[a,b]上有正有负【即时应用】(1)设f(x)是连续函数，且为奇函数，在对称区间［-a,a］上的定积分(2)若y=f(x)与y=g(x)是［a,b］上的两条光滑曲线的方程,则由这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为___.(3)设连续函数f(x)>0,则当a

4、或“负”).【解析】(1)由定积分的几何意义和奇函数的性质知(2)利用定积分的几何意义可得，平面区域的面积应表示为(3)由定积分的几何意义知的符号为正.答案：(1)0(2)(3)正3.定积分的基本性质①_______________.②设f(x),g(x)可积,则=___________________.【即时应用】(1)已知(2)=___________.【解析】(1)由定积分的性质得(2)由定积分的性质可得又sinx与2x都是奇函数，所以所求定积分为0.答案：(1)1(2)04.微积分基本定理(1)一个结论F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差.(2)微积分基本定

5、理如果F′(x)=f(x),且f(x)在［a,b］上可积，则其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.一般地，原函数在［a,b］上的改变量F(b)-F(a)简记作因此，微积分基本定理可以写成形式：【即时应用】(1)(2)一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),所做的功为_______.【解析】(1)(2)所做的功为答案：(1)2(2)40J利用微积分定理计算定积分【方法点睛】求定积分的步骤(1)求使F′(x)=f(x)成立的F(x)；(2)计算F(b)-F(a).【例1】计算下列定积分.(1)(2012·沈阳模拟)(2

6、)(2012·黄冈模拟)(3)(4)【解题指南】计算的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x)，从而求得积分值.【规范解答】(1)∵(lnx)′=(2)∵(ex)′=ex，(3)(4-2x)(4-3x2)=6x3-12x2-8x+16，======8.(4)∵∴====【互动探究】本例(4)改为求【解析】∵cos2=∴===【反思·感悟】求定积分时，如果被积函数比较复杂，可把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差的形式，再求解.【变式备选】(2012·浏阳模拟)已知t>0，若则t=___________.【解析】∵==2(x2)=t2-2t，∴t

7、2-2t=3，(t-3)(t+1)=0，∵t>0,∴t=3.答案：3利用定积分的几何意义求定积分【方法点睛】利用定积分的几何意义求定积分的解题思路(1)利用定积分的几何意义转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积.(2)注意常见的一些结论.设函数f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则①若f(x)是偶函数，则②若f(x)是奇函数，则【例2】利用定积分的几何意义求下列定积分(1)(2)【解题指南】(1)利用定积分的几何意义转化为圆面积的一部分；(