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《2021版高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间向量及其运算练习苏教版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、8.5空间向量及其运算考点一 空间向量的线性运算 1.在空间四边形ABCD中,若=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为( )A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________. 3.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.用,,表示,则=________. 4.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点
2、G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x,y,z的值分别为________. 【解析】1.选B.因为点E,F分别为线段BC,AD的中点,设O为坐标原点,所以=-,=(+),-10-=(+).所以=(+)-(+)=(+)=[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).2.设M(0,y,0),则=(1,-y,2),=(1,-3-y,1),由题意知
3、
4、=
5、
6、,所以12+y2+22=12+(-3-y)2+12,解得y=-1,故M(0,-1,0).答案:(0,-1,0)3.因为==(+),所以=+=(+)+=++.答案:++4.因为=+=+=+(-)=+
7、-=+×(+)-×=++,所以x,y,z的值分别为,,.答案:,,-10-(1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形,正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,灵活运用三角形法则及四边形法则,就近表示所需向量.考点二 共线向量定理、共面向量定理及其应用 【典例】1.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ等于( )A.B.C.D.2.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3
8、.求证:B,G,N三点共线.【解题导思】序号联想解题1因为a,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程组可求参数值.2要证B,G,N三点共线,只要证=λ即可,想到选择恰当的基向量分别表示和.【解析】1.选D.因为向量a,b,c共面,所以由共面向量基本定理,存在惟一有序实数对(x,y),使得xa+yb=c,所以,解方程组得λ=.-10-2.设=a,=b,=c,则=+=+=-a+(a+b+c)=-a+b+c,=+=+(+)=-a+b+c=.所以∥,即B,G,N三点共线.证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面=λ且同过点P=x+y对空间任一点O,=
9、+t对空间任一点O,=+x+y1.e1,e2是平面内不共线两向量,已知=e1-ke2,=2e1+e2,=3e1-e2,若A,B,D三点共线,则k的值是( )A.2B.-3C.-2D.3【解析】选A.=-=e1-2e2,又A,B,D三点共线,设=λ,所以,所以k=2.2.如图,已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′,E,F,G,H分别是棱A′D′,D′C′,C′C和AB的中点,求证E,F,G,H四点共面.-10-【证明】取=a,=b,=c,则=++=b-a+2a+(++)=b+a+(b-a-c-a)=b-c,所以与b,c共面.即E,F,G,H四点共面.考点三 空间向量的数量积及其应用 命题
10、精解读考什么:(1)考查空间向量的数量积运算、利用数量积求线段长度、夹角大小以及证明垂直问题.(2)考查直观想象与数学运算的核心素养.怎么考:常见命题方向:证明线线垂直,求空间角.新趋势:以柱、锥、台体为载体,利用空间向量的数量积运算解决求值问题.-10-学霸好方法1.(1)利用数量积解决问题的两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.①a≠0,b≠0,a⊥b⇔a·b=0;②
11、a
12、=;③cos=2.交汇问题:与立体几何知识联系,考查证明垂直,求空间角等问题.空间向量的数量积运算【典例】1.在棱长为1的正四
13、面体ABCD中,E是BC的中点,则·=( )A.0B.C.-D.-2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直,则k=________. 【解析】1.选D.·=·===-.2.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0,解得k=.答案:空间向量数量积计算有两种方法:基向量法与
