资源描述：
《初二数学第6讲：角平分线的性质 教师版 ——国展甘露.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六讲角平分线的性质一.角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．二.角平分线的性质及判定1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO
2、∴PA＝PB几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．推导：已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝P
3、B∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）1.重点：角平分线的性质及判定2.难点：角平分线的性质及判定的应用，特别是辅助线的添加。例1．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm则BC的长为_____cm．解析：本题考查角平分线的性质，过D作AB的垂线DE得CD=DE=5,可求BD=10，则BC=15。答案：15例2.如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．解析：本题考查了角平分线的判定，利用内角和定理可
4、求。答案：40°，50°。例3．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC。求证：DE＝DF．解析：因为DE⊥AB，DF⊥AC。所以要证DE=DF，要先证AD是角平分线。答案：证明：∵D是BC的中点∴BD=CD∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠BED=∠CFD=90º在△ADB和三角形ADC中AB=AC∠BED=∠CFDBD=CD∴△ADB≌△ADC∴∠BAD=∠CAD∴DE=DF例4．已知：如图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在∠DAE的平分线上．解析
5、：由F为角平分线的交点可知到两边距离相等，再依据角平分线的判定可证。答案：证明：过F分别作FM⊥AD于M,FN⊥AE于N,FO⊥BC于O∵BF平分∠CBD,CF平分∠BCE∴FB=FO,FO=FN∴FM=FN∴F在∠BAC的平分线上例5．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．解析：由AD为角平分线可知到两边距离相等，再两三角形全等可证。答案：DE＝DF. 证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
6、∵AD是△ABC的角平分线， ∴DM＝DN ∵∠EDF＋∠EAF＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF＝180° 又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF＝180° ∴∠1＝∠4 在Rt△DEM与Rt△DFN中DM＝DN∠1＝∠4∠DME＝∠DNF ∴Rt△DEM≌Rt△DFN（ASA） ∴DE＝DF例6．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．解析：（1）由角平分线的性质可得辅助线的作法，再由角平分
7、线的判定可证。（2）由平行线的判定和性质可证。答案：证明：（1）作ME⊥AD,∵MC⊥DC,ME⊥DA,MD平分∠ADC,∴ME=MC,∵M为BC中点,∴MB=MC,又∵ME=MC,∴ME=MB,又∵ME⊥AD,MB⊥AB,∴AM平分∠DAB．（2）∵∠B=∠C=90∴∠B+∠C＝180∴AB∥CD∴∠DAB+∠ADC＝180∵DM平分∠ADC,AM平分∠DAB∴∠ADM＝∠ADC/2,∠DAM＝∠DAB/2∴∠DAM+∠ADM＝（∠DAB+∠ADC）/2＝180/2＝90∴DM⊥AMA1.角的平分线的性质是_________
8、__________________．它的题设是_________，结论是_____．解析：本题考的是角的平分线的性质定理答案：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的平分线上的点到角的两边的距离，相等。2.到角的两边距离相等的点，在_____.所以，如果点P到∠AOB两边
