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《【全程复习方略】（福建专用）2013版高中数学 变换的不变量与矩阵的特征向量训练 理 新人教A版选修4-2.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、【全程复习方略】（福建专用）2013版高中数学变换的不变量与矩阵的特征向量训练理新人教A版选修4-21.已知矩阵M=的一个特征值为3，求其另一个特征值.2.(2012·苏州模拟)已知M=α=试计算M20α.3.给定矩阵A=求A4B.4.(2011·福州模拟)已知二阶矩阵M有特征值λ=3及属于3的一个特征向量并且矩阵M对应的变换将点(-1，2)变换为(9，15)，求矩阵M.5.(2012·厦门模拟)已知矩阵M=向量ξ=(1)求矩阵M的特征值λ1、λ2和特征向量ξ1和ξ2；(2)求M6ξ的值.6.求矩阵的特征值及属于每个特征
2、值的一个特征向量.7.已知矩阵A=若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为属于特征值－1的一个特征向量为求矩阵A．8.(2012·三明模拟)设M是把坐标平面上的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换.(1)求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；(2)求逆矩阵M-1及椭圆在M-1的作用下的新曲线的方程.9.(2012·南通模拟)设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换.(1)求直线4x-10y=1在M作用下的方程；(2)求M的特征值与对应的一个特征向量.-6-10.已知二阶矩阵
3、M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量并有特征值λ2=-1及属于特征值-1的一个特征向量(1)求矩阵M.(2)求M2013α.答案解析1.【解析】矩阵M的特征矩阵为其特征多项式为(λ-1)(λ-x)-(-2)×(-2)由题意：(3-1)(3-x)-4=0∴x=1∴M=由(λ-1)(λ-1)-(-2)×(-2)=0,解得λ=3或λ=-1.矩阵M的另一个特征值为-1.2.【解析】矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ-1)2-4,令f(λ)=0解得λ1=3,λ2=-1,对应的特征向量分别为和而α=所以-6-3.【解析】设
4、A的一个特征值为λ，由题知(λ-2)(λ-3)=0，λ1=2，λ2=3，当λ1=2时，由得A的属于特征值2的特征向量当λ1=3时，由得A的属于特征值3的特征向量由于B=故A4B=A4(2α1+α2)=2(24α1)+(34α2)=32α1+81α2=4.【解析】设M=则∴①，又∴②,联立①②解得a=-1,b=4,c=-3,d=6,∴M=5.【解析】(1)M=的特征多项式为令f(λ)=0，得λ1=1,λ2=3.当λ1=1时，得当λ2=3时，得(2)由ξ=mξ1+nξ2得得m=3，n=1.-6-6.【解析】特征多项式由f(λ
5、)=0,解得λ1=1,λ2=3，将λ1=1代入特征方程组，得即x+y=0,可取为属于特征值λ1=1的一个特征向量,同理，λ2=3时，由即x-y=0,所以可取为属于特征值λ2=3的一个特征向量.综上所述，矩阵有两个特征值λ1=1，λ2=3；属于λ1=1的一个特征向量为属于λ2=3的一个特征向量为7.【解析】由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为可得即由矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为可得即解得即矩阵A=8.【解题指南】先确定矩阵，进而求得其特征值及属于每个特征值的一个特征向量,再求逆矩阵后解题.【解析】(1)由题意可得M
6、=则令∴矩阵M的特征值为λ1=2,λ2=3.当λ1=2时,由即-y=0,-6-得一个非零解当λ2=3时，由即x=0，得一个非零解∴矩阵M的特征值为λ1=2,λ2=3,属于特征值λ1=2,λ2=3的一个特征向量分别为(2)∵
7、M
8、=∴设(x,y)是上任一点，经M-1变换后为点(x′,y′),则由∴∴∴新曲线的方程为x2+y2=1.9.【解析】(1)由题意得M=设(x′,y′)是所求曲线上的任一点，所以所以代入4x-10y=1得，4x′-2y′=1,所以所求曲线的方程为4x-2y=1.(2)矩阵M的特征多项式令f(λ)=0,
9、所以M的特征值为λ1=1,λ2=5.当λ1=1时，由Mα1=λ1α1，得特征向量-6-当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量10.【解析】(1)设M=则∴①又∴②由①②可得a=1,b=2,c=3,d=2，∴M=(2)易知∴-6-
