2010高三数学高考《三角函数》专题学案：三角函数的化简和求值.doc

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1、基础过关第5课时三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求：①函数名称尽可能少；②项数尽可能少；③尽可能不含根式；④次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．3．求值问题的基本类型及方法①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示

2、，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[]、[0，π]、（）的角．典型例题例1.（1）化简：（2）化简：解：∵＝∴原式=变式训练1：已知，若，则可化简为．解：例2.已知，α∈[，]，求（2α＋）的值．解法一：由已知得(3sinα＋2cosα)(2sinα－cosα)＝0用心爱心专心3sinα＋2cosα＝0或2sinα－cosα＝０由已知条件可知cosα≠0∴α≠即α∈(,π)∴tanα＝－sin(2α＋)＝sin2αcos＋cos2αsin＝sinαcosα＋(cos

3、2α－sin2α)＝＝＝解法二：由已知条件可知cosα≠0则α≠从而条件可化为6tan2α＋tanα－2＝0∵α∈(,π)解得tanα＝－(下同解法一)变式训练2：在△ABC中，，，，求A的值和△ABC的面积．解：∵sinA＋cosA＝①∵2sinAcosA＝－从而cosA＜0A∈()∴sinA－cosA＝＝②据①②可得sinA＝cosA＝∴tanA＝－2－S△ABC＝例3.已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈（0，），求2α－β的值.解：由tanβ＝－β∈(0，π)得β∈(,π)①用心爱心专心由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝α∈(

4、0，π)得0＜α＜∴0＜2α＜π由tan2α＝＞0∴知0＜2α＜②∵tan(2α－β)＝＝1由①②知2α－β∈(－π，0)∴2α－β＝－(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解)变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．解：由sinα＝α为第二象限角∴cosα＝－∴＝＝－例4．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．解：（1）由得解得tanα＝－3或又，所以为所求．（2）原式：用心爱心专心变式训练4：已知（<α<），试用k表示sin－cos的值．解：∵∴k＝2sinαcosα∵(sinα－cosα)2＝1－k又∵α∈()∴sinα－

5、cosα＝小结归纳1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式：①变换角度②变换函数名③变换解析式结构3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．用心爱心专心