不定积分中的“积不出”问题.pdf

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1、不定积分中的“积不出”问题张春苟首都师范大学数学科学学院北京100037摘要：本文利用刘维尔（J.Liouville）定理讨论了几类不定积分是否初等函数的问题，并给出了相应的判定法则。关键词：不定积分；原函数；初等函数中图分类号：O1711引言我们说函数f“积不出”是指不定积分f(x)dx不是初等函数，即f的原函数不是初等函数。在数学分析教材中，都只是结论性的给出几个这样的例子，既不证明，也没有更多的说明。这难免不使学生感到疑惑和不塌实，也容易使学生误以为积不出的函数很少，同时也可能会使学生在遇到积不出问题时，却试图寻求原函数求解而煞费苦心

2、，浪费时间。因此，给出更多积不出函数的例子和一些判断不定积分是否初等函数的法则是很有必要的，本文将在此方面做一些探讨。研究函数积不出问题的基础之一是以下的刘维尔（J.Liouville）定理[1]①定理A（刘维尔第三定理）：设f(x)，g(x)为x的代数函数，且g(x)不为常数。若g(x)g(x)g(x)f(x)edx是初等函数，则f(x)edx=R(x)eC，其中R(x)和C分别是有理函数和常数。定理B（刘维尔第四定理）：设f(x)，g(x)（k1,2,,n）为x的代数函数，且kknw(x)f(x)egk(x)的不定积分是初等函

3、数，则gi(x)gj(x)常数(ij)。若函数kk1f(x)egk(x)dx(k1,2,n)也是初等函数。k换句话说就得下面的推论推论设f(x)，g(x)（k1,2,,n）为x的代数函数，且g(x)g(x)常数kkijnw(x)f(x)egk(x)中有一项是积不出函数，则w(x)也是积不出函数。(ij)。若kk12．主要结果①n如果函数yf(x)满足方程Q(x)Q(x)yQ(x)y0，其中n是正整数，01nQ(x)i0,,n是多项式，Q(x)0．那么函数yf(x)称为x的代数函数．inbxb

4、x2e文献[2]利用刘维尔第三定理证明了不定积分edx（b0）、dx（b0）、x122dx以及sinxdx、cosxdx等不是初等函数。由欧拉公式，用刘维尔第四定理不lnxsinxcosx难证明不定积分dx、dx也不是初等函数。利用分部积分、变量替换等手段xx由它们可得更多积不出函数。x11．不定积分eP()dx（P(x)是n次非零多项式）何时为初等函数？nxnn设n次的多项式P(x)=aaxax（a0）．当k1时，由分部积分可n01nn得xk1j1e(1)xjk11xdx=ex+xedxkxj

5、1(1k)(jk)(k1)!则nxx1eeP()dx=adxnxkkk0xxxe=ae+adx01xk1j1(1)xjk11x+a[exxedx]kk1j1(1k)(jk)(k1)!k1j1nx(1)xjkak1x=ae+aexxedx0kk1j1(1k)(jk)k1(k1)!n1xakx1由于不定积分xedx不是初等函数，因此当且仅当0时，ePn(x)dx是k1(k1)!初等函数。nakx1定理1当且仅当0时，ePn(x)dx是初等函数。

6、k1(k1)!2x2．不定积分eP(x)dx（P(x)是n次的非零多项式）何时为初等函数？nn2x2k1我们注意到：当k为正整数时，不定积分exdx为初等函数，而不定积分2x2kexdx12k1x22k12k3x2k1(2k1)!!3x2=xexe++(1)xe2k1222k(2k1)!!x2+(1)edxk2不是初等函数。不妨设n2m，则mx2k(2k1)!!x2ePn(x)dx=P(x)+a2k(1)kedxk02这里P(x)是初等函数。因此我们有，[n]2k(2k1)!!x2定理2当且

7、仅当a2k(1)k0时，不定积分ePn(x)dx是初等函数。k0213．不定积分P(x)dx（P(x)是n次的非零多项式）何时为初等函数？nnlnxt令lnxt，则xe。tn(k1)t1eteP(x)dx=P(e)dt=adtnnklnxtk0t而g(t)g(t)(i1)t(j1)t(ij)t常数（ij）ij这样由刘维尔第四定理知1定理3对任何非零多项式P(x)，不定积分P(x)dx是非初等函数。nnlnx24．不定积分P(x)sinxdx（P(x)是n次的非零多项式）何时为初等函数？nn21

8、ix2ix2由欧拉公式得sinx=ee，则2i21ix2ix2P(x)sinxdx(P(x)eP(x)e)dxnnn2i222k1ix2k1