解析几何设不求的若干途径.doc

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1、解析几何设而不求的若干途径王德昌设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不求的若干实施途径，供大家参考。一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求例1过圆外一点P（a，b）引圆的两条切线，求经过两个切点的直线方程。解：设两个切点分别为P1（），P2（），则切线方程为：，。可见P1（），P2（）都满足方程，由直线方程的定义得：，即为经过两个切点的直线方程。二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而不求例2已知椭圆为焦点，点

2、P为椭圆上一点，，求。解析：由题意知点P为椭圆上一点，根据椭圆的定义。再注意到求的关键是求出这一整体，则可采用如下设而不求的解法：设由椭圆定义得①由余弦定理得②①2－②得，三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不求例3求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程。解析：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则：①②①－②得：当时，由题意知，即③③式与联立消去k，得④当时，k不存在，此时，，也满足④。故弦PQ的中点M的轨迹方程为：。注：通过将P、Q的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减。这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ

3、的斜率和中点坐标，是实现设而不求的关键。四、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求例4已知点P（3，4）为圆C：内一点，圆周上有两动点A、B，当∠APB=90°时，以AP、BP为邻边，作矩形APBQ，求顶点Q的轨迹方程。解析：设A（），B（），Q（x，y）由题意得：①②③④，即。⑤将①②⑤代入上式并整理得，即为点Q的轨迹方程。注：本题的目标是找到x、y所满足的方程，而逐步消去无关的则是解答问题的关键。