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1、离散型随机变量的均值与方差的应用一、离散型随机变量的均值和方差的概念知识点梳理若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E(X)=_________________________为随机变量X的均值或______________.它反映了离散型随机变量取值的__________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn数学期望平均水平平均偏离程度其中_________________为随机变量X的标准差.(2)方差称D(X)=___________________________________________________为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均
2、值E(X)的_____________注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。记作：二、离散型随机变量的性质：(1)E(aX+b)=__________.(2)D(aX+b)=________.(a,b为常数)aE(X)+ba2D(X)(1)若X服从两点分布,则E(X)=_________,D(X)=______________.(2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________________.2.两点分布与二项分布的均值与方差1.线性性质：规律方法求离散型随机变量X的
3、均值、方差的方法与步骤：(1)理解X的意义，写出X的可能取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由期望、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．2.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=______.1173.设随机变量则()A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45A==+=hxxhDD则，且、已知,138131小试牛刀例1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲
4、比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望和方差;(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.超几何分布题型一、均值与方差的求法练习：某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值与方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差.解析：(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为：题型一、均值与方差的求法故Eξ=p=0.6,Dξ=pq=0.6×0.4=0.24.练习：某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值;方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差.题型一、均值与方差的求法
5、故Eξ=np=5×0.6=3.Dξ=np(1-p)=5×0.6×0.4=1.2.解析：(2)重复5次投篮，命中次数η服从二项分布即η～B(5,0.6)例2:设随机变量ξ具有分布列P(ξ=k)=k=1,2,3,4,5,求E(2ξ+5),D(2ξ-1),解析：题型二、均值与方差性质的应用∴E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=11.ξ是随机变量,则η=aξ+b仍是随机变量,在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质,可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算.点评：∴D(2ξ-1)=4D(ξ)=8,例3(湖北理)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1
6、,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.解：(1)ξ的分布列为题型二、均值与方差性质的应用(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,即a=±2.又E(η)=aE(ξ)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2.当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.思考题：基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的期望、方差,求ξ的线性函数η=aξ+b的期望、方差和标准差，可直接
7、用ξ的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的期望、方差公式求解.1.在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一般要将问题中的随机变量设出来,再进行分析,求出随机变量的概率分布,然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差.失误与防范1.求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤：找出随机变量X的可能取值；写出随机变量X的分布列；(2)由期望、方差的定义求E(X)，D(X)；特别地，若随机变量满足
