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1、第二章平面向量单元复习第一课时知识结构实际背景基本定理坐标表示数量积向量线性运算向量的实际应用知识梳理1.向量的有关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量.模为零的向量.（2）向量的模（或长度）：（3）零向量：表示向量的有向线段的长度.（4）单位向量：模为1的向量.（8）向量的数量积：（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量.（7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量.a·b=
2、a
3、
4、b
5、cosθ.三角形法则:2.向量的几何运算（1）加法运算：平行四边形法则:ｂa＋baaｂa＋b（2）减法运算：三角形法则:平行四边形法则:ｂaa-
6、b-ｂｂaa-b（3）数乘运算：aλ>1时λaλ=1时λa0<λ<1时λaλ<-1时λaλ=-1时λa-1<λ<0时λaλ=0时λa=03.向量定理（1）共线定理：（2）基本定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.范例分析例1在△ABC中，设a，b，已知，，试以a、b为基底表示向量.MCBAN例2在△ABC中，已知点O满足:，求证：点O是△ABC的重心.OCBADE例3在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且
7、BD=3BN，试推断点M、N、C是否共线？并说明理由.ABCDMN例4在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量与的夹角为60°，求.PCBAQ运算性质1.向量加法的运算性质（1）a＋b=b＋a；（2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；（3）若a与b为相反向量，则a＋b＝0；（4）若b＋c＝a，则c＝a－b；（5）
8、a±b
9、≤
10、a
11、＋
12、b
13、，
14、a±b
15、≥
16、
17、a
18、－
19、b
20、
21、；（6）2.向量数乘的运算性质(1)λ(μa)=(λμ)a；(2)(λ＋μ)a=λa＋μa；(3)λ(a＋b)=λa＋λb；3.数量积的运算性质（1）a·b＝b·a；（2）(λa)·
22、b＝λ(a·b)＝a·(λb)；（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c；（4）a⊥ba·b＝0；（5）a2＝
23、a
24、2；（6）
25、a·b
26、≤
27、a
28、
29、b
30、；范例分析例1已知向量a、b满足：
31、a
32、=4，且a·(a－b)=12，求向量b在a方向上的投影.1例2已知非零向量a、b满足：(a－b)⊥b，且(a＋2b)⊥(a－2b)，求向量a与b的夹角.60°例3已知向量a、b、c两两之间的夹角为120°，且
33、a
34、=1，
35、b
36、=2，
37、c
38、=3，求向量a＋b＋c与a的夹角.150°例4设向量a、b不共线，已知2a＋kb，a＋b，a－2b，且A、B、D三点共线，求实数k的值.k=－1例5设e为单位向
39、量，且向量a≠e，若对任意实数t，不等式
40、a－te
41、≥
42、a－e
43、恒成立，求证：(a－e)⊥e.例6已知向量a、b满足：
44、a
45、=4，
46、b
47、=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当t∈[0，1]时，求
48、a＋tb
49、的取值范围.向量的坐标运算知识梳理1.向量的坐标表示（1）设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y)；（2）若点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).2.向量的坐标运算设向量a=(x1，y1),b=(x2，y2),则（1）a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；（2）a－b＝(x1－x2，y1－y2)；（3）λ
50、a＝(λx1，λy1)；（4）a·b＝x1x2＋y1y2；（5）向量a，b共线；（6）a⊥bx1x2＋y1y2＝0；（7）
51、a
52、；范例分析例1:设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c），d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d的坐标.d＝(－2，－6)例2已知向量(3，1)，(－1，2)，且，，求向量的坐标.(11，6)例3已知向量a＝(2，3)，b＝(－4，3)，求向量a在b方向上的投影.例4设向量a与b的夹角为θ，已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，求cosθ的值.例5已知向量a＝(1，2)，b＝
53、(－2，－4)，
54、c
55、=，若(a＋b)·c=，求向量a与c的夹角.120°例6已知点A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，O为坐标原点，动点P满足：,求向量与的夹角θ的取值范围.例7已知实数x、y满足：x＋y＝1，求证：.作业：P119复习参考题A组：11,12,13,14.同步课堂（必修4）p39—p40
