求以下序列z变换.doc

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1、习题五Z变换1．求以下序列的z变换，并画出零极点图和收敛域。分析：Z 变换定义，n的取值是的有值范围。Z变换的收敛域是满足的z值范围。解：(1)由Z变换的定义可知：解：(2)由z变换的定义可知：解:（3）解：(4)  ，解：(5)设则有 而∴因此，收敛域为：解：(6)2.假如的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。分析：解:对X(Z)的分子和分母进行因式分解得X(Z)的零点为:1/2，极点为:j/2,-j/2,-3/4∴X(Z)的收敛域为:(1)1/2<

2、Z

3、<3/4, 为双边序列，请看<图形一>(2)

4、Z

5、<1/2 

6、 , 为左边序列，请看<图形二>   (3)

7、Z

8、>3/4，为右边序列，请看<图形三>分析：长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分母都要按z的升幂排列。部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得x（n）。留数定理法：（1）（i）长除法：所以：（1）(ii)留数定理法：,设c为内的逆时针方向闭合曲线：当时，在c内有一个单极点则（1）(iii)部分分式法：因为所以（2）(i)

9、.长除法：,因而是左边序列,所以要按的升幂排列：所以（2）(ii)留数定理法:内的逆时针方向闭合曲线在c外有一个单极点在c内有一个单极点∴综上所述，有：(2)(iii).部分分式法：则因为则是左边序列所以(3)(i).长除法：因为极点为，由可知,为因果序列,因而要按的降幂排列:则所以(3)(ii).留数定理法:内的逆时针方向闭合曲线。(3)(iii).部分分式法：则所以4.有一右边序列，其变换为(a)将上式作部分分式展开(用表示)，由展开式求。(b)将上式表示成的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求,并说明所得到的序列与(a)

10、所得的是一样的。注意：不管哪种表示法最后求出x（n）应该是相同的。解：(a)因为且x(n)是右边序列所以(b)5．对因果序列,初值定理是,如果序列为时,问相应的定理是什么?,其z变换为：分析：这道题讨论如何由双边序列Z变换来求序列初值，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，[它们各自由求表达式是不同的]，将它们各自的相加即得所求。若序列的Z变换为：由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆则其收敛域应该为：6.有一信号,它与另两个信号和的关系是:其中，已知，分析：解：根据题目所给条件可得：而所以7.求以下序列的频谱。(1)(2)(3)

11、(4)分析：可以先求序列的Z变换再求频率即为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的傅里叶变换解：对题中所给的先进行z变换再求频谱得：∴8.若是因果稳定序列，求证：分析：利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解再利用的傅里叶反变换，代入n=0即可得所需结果。证明:∴9．求的傅里叶变换。分析:这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。解：根据傅里叶变换的概念可得：10.设是如下图所示的信号的傅里叶变换，不必求出，试完成下列计算：(a)(b)(c)(d)分析：利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式解：由帕塞瓦

12、尔公式可得：∵∴即由帕塞瓦尔公式可得：11．已知有傅里叶变换，用表示下列信号的傅里叶变换。(a)(b)(c)分析：利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。解：(c)则而所以12.已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统(a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域；(b)求此系统的单位抽样响应；(c)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的（非因果）系统的单位抽样响应。分析：则，要求收敛域必须知道零点、极点。收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域若包括单位圆，则为

13、稳定系统（不一定因果）。(a)对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得：所以零点为z=0，极点为因为是因果系统，所以

14、z

15、>1.62是其收敛区域。零极点图如右图所示。右边是本题的零极点图。由于的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。(c)若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选的收敛区域为，即，则中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。13.研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系统，已知它满足并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。分析：在Z变换域中求出，然后

16、和题12（c）一样分解成部分分式分别求Z反变换。解：对给定的差分方程两边作Z变换，得：，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括即可求得14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应