如何求集合的上下极限.doc

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1、如何求集合列的上下极限？例１ 设f(x)，f(x)(n=1,2,...,)是定义在区间[a,b]上的实函数，k为自然数则 E[f(x)—f(x)]＝E[

2、f(x)－f(x)

3、≥]  (1)                  ＝ E[

4、f(x)－f(x)

5、≥]  E[f(x)─→f(x)]＝E

6、f(x)－f(x)

7、＜     (2)                 ＝E[

8、f(x)－f(x)

9、＜]     证明只须证(1) x∈E[f(x)─f(x)]<＝>x∈E，ョε，对N，ョn≥N满足

10、f(x)－f(x)

11、≥ε<＝>x∈E，ョ1/k，对N，ョn≥N满足

12、f(x

13、)－f(x)

14、≥ε≥                   <＝>ョk，对N，ョn≥N，x∈E[

15、f(x)－f(x)

16、≥]                   <＝>ョk，对N，x∈E[

17、f(x)－f(x)

18、≥]                   <＝>ョk，x∈E[

19、f(x)－f(x)

20、≥]                   <＝>x∈E[

21、f(x)－f(x)

22、≥]                                                       证毕   注 (1)、(2)式都是极限语言与集合语言的相互“翻译”，请注意体会其证明过

23、程。   例2①若AA......A......(渐涨集合列)          则A＝A＝A＝A 且         同理A＝A＝A＝A                故  A＝A＝A      ②若AA......A......(渐缩集合列)        则          A＝A＝A   以上两结论对应于数列中的结果是单调递增数列的极限就是上确界，单调递减数列的极限就是下确界。