《自动控制理论》课件(夏德钤第3版)第2章__控制系统的数学模型

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1、第二章控制系统的数学模型本章知识点：线性系统的输入－输出传递函数描述建立机电系统数学模型的机理分析法传递函数的定义与物理意义典型环节的数学模型框图及化简方法信号流程图与梅逊公式应用非线性数学模型的小范围线性化第一节线性系统的输入/输出时间函数描述物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。数学建模——从实际系统中抽象出系统数

2、学模型的过程。建立物理系统数学模型的方法机理分析法对系统各部分的运动机理进行分析，按照它们遵循的物理规律、化学规律列出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数学模型。实验辩识法对系统施加某种测试信号（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时间响应、频率响应），估算系统的传递函数。机理分析法建立系统数学模型的步骤确定系统的输入量、输出量；根据物理定律列写原始方程；消去中间变量，写出表示系统输入、输出关系的线性常微分方程。机理分析法建立系统数学模型举例例2-1:图2-1为RC四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。解：设回路电流i1、i2，根据克希霍

3、夫定律，列写方程组如下U1R1R2U2C1C2图2-1RC组成的四端网络(1)(2)(3)(4)(5)机理分析法建立系统数学模型举例由(4)、(5)得由(2)导出将i1、i2代入(1)、(3)，则得U1R1R2U2C1C2图2-1RC组成的四端网络这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线性常微分方程。机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例例2-2图2-6所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感。激磁磁通为常值。图2-6直流

4、电动机原理图SM负载＋-＋-LaRaEamJmfmUaifia机理分析法建立系统数学模型举例解：列写电枢电路平衡方程图2-6电枢控制直流电动机原理图SM负载＋-＋-LaRaEamJmfmUaifia①Ea——电枢反电势，其表达式为Ea=Ceωm（t）②Ce——反电势系数（v/rad/s）第二节线性系统的输入—输出传递函数描述一、传递函数１．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初使条件是指当t≤0时,系统r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。线性系统微分方程的一般形式为当初始条件均为0时,对上式两边求拉氏变换，得系统的传递

5、函数的根，也即线性微分方程特征方程的特征值。零点——传递函数分子s多项式传递函数G(S)是复变函数，是S的有理函数。且有m≤n。极点——传递函数分母s多项式的根。传函是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。如果已知系统的传递函数和输入信号,则可求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式C(s),对其求拉氏反变换可得到系统的响应c(t)，称为系统的零状态响应。系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传递函数则由系统的结构与参数决定。传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，为1+开环传递函数。同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其特征多项式唯一。在给定输入和初始

6、条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应，包括两部分系统响应=零输入响应+零状态响应零输入响应——在输入为零时，系统对零初始状态的响应；零状态响应——在零初始条件下，系统对输入的响应。传递函数的几点性质传递函数G(s)是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所有系数均为实数。传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。传递函数G(s)描述了系统输出与输入之间的关系，但它不提供系统的物理结构信息。具有相同传递函数的不同物理系统称为相似系统。传递函数的几点性质如果系统的传递函数未知，给系统加上某种输入，可根据其输出，确定其传递函数。系统传递函数是系统单

7、位脉冲响应g(t)的拉氏变换L[g(t)]。例2－3求例2－1系统的传递函数。已知其输入－输出微分方程U1R1R2U2C1C2图2-1RC组成的四端网络设初始状态为零，对方程两边求拉氏变换，得此即为RC四端网络的传递函数。第三节非线性数学模型的小范围线性化严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非线性。对于非本质非线性数学模型，可采用小范围线性化方法。设一非线性数学模型如图所示。设函数y=f（x）在（x0，y0）点附近连续可微(此即为非线性系统数学