数学分析第一章-1.1汇总.doc

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1、第一章教学安排的说明章节题目：实数集与函数学时分配：共5学时§1实数（1学时）§2数集.确界原理（2学时）§3函数概念(1学时)§4具有某些特性的函数(1学时)教学目的：通过教学，使学生正确理解函数、极限与连续的基本概念，熟练掌握极限的运算。教学要求：1、掌握实数的各条性质，初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。2、正确理解和掌握函数的概念、性质,四则运算,复合函数,反函数的定义。3、掌握基本初等函数的性质及其图形。4、掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数的定义及性质。5、理解函数的单调性,周期性,奇偶性等,会对初等函数是否具备这些性质。其

2、他：      注:第一章大部分内容中学学过。20课堂教学方案课题名称、授课时数：§1实数1学时§2数集确界原理2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授为主（部分内容自学）教学目的与要求：1．掌握实数的基本概念、基本性质和最常见的不等式,并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性、实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式2.掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念，要求理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：1.实数集的概念性质及应用,；2.数集有界、无界及确界的概念，确界原理。教学难点：数集确界的定义

3、及其应用，确界原理的证明。教学内容首先简要介绍“数学分析”课程的内容：分三个学期；所有内容可分为四部分：1）极限理论，包括数列极限、函数极限及函数的连续性；202）一元函数的微积分，包括导数和微分及其应用、不定积分、定积分及其应用、反常积分；这之间包括第七章实数的完备性；3）级数理论，包括数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数；4）多元函数的极限与连续，多元函数的微积分，包括多元函数的偏导数与全微分、隐函数定理及其应用、含参变量积分、二重积分、三重积分、曲线积分及曲面积分.数学分析是数学专业的一门重要理论基础课，在之后要学习的课程：复变函数、常微

4、分方程、实变函数都是它最直接的后继课，学好数学分析对这些后继课程的学习是极其重要的，故一定要打好数学分析课程这个理论基础.第一章实数集与函数§1实数复习引新：一、实数集及性质1.实数集：回顾中学中关于实数集的定义.2.实数集性质：四则运算封闭性；三歧性(即有序性)；Rrchimedes性；稠密性:由有理数和无理数的稠密性,给出实数稠密性的定义；实数集的几何表示───数轴:3.两实数相等的充要条件:二.重要不等式1.绝对值不等式:定义[1]P3的六个不等式.202.其他不等式:（1）（2）均值不等式（3）Bernoulli不等式:有不等式（4)由二项

5、展开式对有.在应用时根据需要确定右边的某一项(k的值)。教学内容：数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先简要叙述实数的有关概念. 一实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：无理数：无限十进不循环小数.20为了以下讨论的需要，把无限小数（包括整数）也表示为无限小数.对此作如下规定：对于正有限小数（包括正整数），当时，其中为非负整数，记而当为正整数时，则记例如：记为 ；对于负无限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为 ；又规定数0记为.于是任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.我

6、们已经熟知比较两个有理数大小的方法.先定义两个实数的大小关系.实数大小的比较定义1 给定两个非负实数其中为非负整数，为整数，若有则称 与 相等，记为；若，或存在非负整数，使得20则称 大于（或 小于 ），分别记为（或）.对于负实数，若按上述规定分别有与，则分别称与（或）.另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数.实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。对于负实数 的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：例如，则它的3位不足近似是，3位过剩近似是.4位不足近似是，4位过剩近似是.注不难看

7、出，实数的不足近似当增大时不减，即有，而过剩近似当增大时不增，即有.20比如  ，则1.4,1.41,1.414,1.4142, 称为的不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143, 称为的过剩近似值。我们有以下的命题 设， 为两个实数，则例1设为实数，.证明：存在有理数 满足证  由，故存在非负整数，使得 ，令则显然为有理数，且有即得实数有如下一些主要性质1、四则运算封闭性:任两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数。2、有序性:任意两个实数必满足下面三个关系之一：，，。203、实数大小传递性：4、阿基米德性（Archimedes

8、）：，若，则，使得.5、 稠密性:有理数和无理数的稠密性.6、实数集的几何表示───数轴（实数的连续性或完备性）例2设.证