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1、第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)=a+2ab+b,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:a2+b2=
2、(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab;a2+b2+c2+ab+bc+ca=[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)2-2(ab-bc-ca)=…结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα);x+=(x+)-2=(x-)+2;……等等。Ⅰ、再现性题组:1.在正项等比数列{a}中,a?a+2a?a+a?a=25,则a+a=_______。2.方程x+y-4kx-2
3、y+5k=0表示圆的充要条件是_____。A.1C.k∈RD.k=或k=13.已知sinα+cosα=1,则sinα+cosα的值为______。A.1B.-1C.1或-1D.04.函数y=log(-2x+5x+3)的单调递增区间是_____。A.(-∞,]B.[,+∞)C.(-,]D.[,3)5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x,则点P(x,x)在圆x+y=4上,则实数a=_____。【简解】1小题:利用等比数列性质aa=a,将已知等式左边后配方(a+a)易求。答案是:5。2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a)+(y-b)=r,解
4、r>0即可,选B。3小题:已知等式经配方成(sinα+cosα)-2sinαcosα=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题:答案3-。Ⅱ、示范性题组:例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。A.2B.C.5D.6【分析】先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱
5、的长度之和为24”而得:。长方体所求对角线长为:===5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2.设方程x+kx+2=0的两实根为p、q,若()+()≤7成立,求实数k的取值范围。【解】方程x+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:p+q=-k,pq=2,()+()====≤7,解得k≤-或k≥。又∵p、q为方程x+kx+2=0的两实根,∴△=k-8≥0即k≥2或k≤-2综合起来,k的取值范围是:-≤
6、k≤-或者≤k≤。【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。例3.设非零复数a、b满足a+ab+b=0,求()+()。【分析】对已知式可以联想:变形为()+()+1=0,则=ω(ω为1的立方虚根);或配方为(a+b)=ab。则代入所求式即得。【解】由a+ab+b=0变形得
7、:()+()+1=0,设ω=,则ω+ω+1=0,可知ω为1的立方虚根,所以:=,ω==1。又由a+ab+b=0变形得:(a+b)=ab,所以()+()=()+()=()+()=ω+=2。【注】本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。【另解】由a+ab+b=0变形得:()+()+1=0,解出=后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式()+()后,完成后面的运算。此方法用于只是未联想到ω时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变
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