2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.2用二分法求方程的近似解学案新人教A版必修第一.docx

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1、4.5.2　用二分法求方程的近似解1．理解二分法的原理及其适用条件．2．掌握二分法的实施步骤．3．体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．1．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求函数零点的一般步骤给定精确度ε，用二分法求函数

2、f(x)零点近似值的一般步骤如下：(1)确定x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0(此时零点x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)·f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：即若

3、a－b

4、<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．1．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一

5、条10km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难得多，每查一点要爬一次电线杆子，10km长的线路，大约有200多根电线杆子(如下图)：13(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障？[答案]　(1)首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正确，断定故障在BC段，再取中点D，再测CD和BD(2)能2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　)(2)函数f(x)＝

6、x

7、可以用二分法求其零点．(　　)(3)精确度ε就是近似值．(　　)(

8、4)由

9、a－b

10、<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√题型一二分法的概念【典例1】　(1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是(　　)A．y＝x＋7B．y＝5x－1C．y＝log3xD．y＝x－x(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)13[思路导引]　依据二分法的定义进行判断．[解析]　(1)选项A、B、C中的函数可以直接求得零点，而选项D中的函数不可直接求得，必须用二分法求得．(2)按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，

11、且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.[答案]　(1)D　(2)A　二分法的2个适用条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．[针对训练]1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)A．x1B．x2C．x3D．x4[解析]　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0.

12、而x313两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.[答案]　C题型二用二分法求方程的近似解【典例2】　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．[思路导引]　确定初始区间，再用二分法求解．[解]　令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有

13、解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于

14、0.6875－0.75

15、＝0.0625<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.[变式]　若本例中的方程改为“lgx＝2－x”，其他条件不变，如何求解？[解]　在同一坐标系中，作出y＝lgx，y＝2－x的图象如图所示，可以发现方程lgx＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．设f(x)＝lgx＋x－2，13则f(x)的零点为x0.用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1,2)；f(1.5)<0，f(2)>0⇒

16、x0∈(1.5,2)；f(1.75)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.75,2)，f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875)；f(1.7