《高等数学》多元函数微分法及其运用.ppt

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1、第九章多元函数微分法及其应用一元函数微分学推广多元函数微分学注意:善于类比,区别异同第九章第二节偏导数一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数目录上页下页返回结束一、偏导数定义及其计算法引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是将振幅u(x,t)中的x固定于x0处,求u(x0,t)关于t的一阶导数与二阶导数.uu(x0,t)u(x,t)Ox0x目录上页下页返回结束定义1.设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内极限limf(x0x,y0)f(x0,y0)x0x存在,则称此极限为函数zf(x,y)在点(x

2、,y)对x00zf的偏导数，记为;;zx(x0,y0);x(x0,y0)x(x0,y0)fx(x0,y0);f1(x0,y0).f(x,y)f(x0x,y0)f(x0,y0)注意:x00limf(x0x0x)f(x0)dxyf(x0)limdx0fx(x,y)dxxx0dx0xx0目录上页下页返回结束同样可定义对y的偏导数f(x0,y0y)f(x0,y0)fy(x0,y0)limy0ydf(x0,y)yydy0若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x

3、或y偏导数存在,则该偏导数称为偏导函数,也简称为zf偏导数,记为,,zx,fx(x,y),f1(x,y)xxzf,,zy,fy(x,y),f2(x,y)yy目录上页下页返回结束偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为f(xx,y,z)f(x,y,z)fx(x,y,z)limx0xfy(x,y,z)?(请自己写出)fz(x,y,z)?目录上页下页返回结束二元函数偏导数的几何意义:zfdMxx0f(x,y0)0xy

4、ydxxx00TxTyzf(x,y)是曲线在点M0处的切线yy0y0yM0Tx对x轴的斜率.Ox0fd(x0,y0)xx0f(x0,y)xyyydyyy00zf(x,y)是曲线xx在点M0处的切线M0Ty对y轴的0斜率.目录上页下页返回结束注意：函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续.xy22,xy0例如,zf(x,y)x2y20,x2y20d显然fx(0,0)f(x,0)0dxx0dfy(0,0)f(0,y)0dyy0在上节已证f(x,y)在点(0,

5、0)并不连续!上节例目录上页下页返回结束例1.求22zx3xyy在点(1,2)处的偏导数.zz解法12x3y,3x2y先求后代xyzz21328,31227x(1,2)y(1,2)解法2zx26x4先代后求y2z(2x6)8x(1,2)x12zx113yyz(32y)y27y(1,2)目录上页下页返回结束例2.设zxy(x0,且x1），求证xz1z2zyxlnxyzy1zy证:yx,xlnxxyxz1

6、zyyxx2zyxlnxy例3.求222rxyz的偏导数.r2xx解:x222r2xyzryrz,yrzr目录上页下页返回结束例4.已知理想气体的状态方程pVRT(R为常数),pVT求证:1VTpRTpRT证:p,2说明:此例表明,VVVRTVR偏导数记号是一个V,pTp整体记号,不能看作pVTV分子与分母的商!T,RpRpVTRT1VTppV目录上页下页返回结束二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连

7、续的偏导数zzfx(x,y),fy(x,y)xy若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:2z2zzz()2fxx(x,y);()fxy(x,y)xxxyxxyz22zzz()fyx(x,y);()2fyy(x,y)xyyxyyy目录上页下页返回结束类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为23zz()x23xxz=f(x,y)关于x的n–1阶

8、偏导数,再关于y的一阶偏导数为n1nzz()yn1n1xxy目录上页下页返回结束3x2yz例5.求函数ze的二阶偏导数及.2yx解:zx2yzx2ye2exy22zzx2yx2ye2ex2xy22zzx2