2000-2012全国高中数学联赛分类汇编-专题01-不等式.doc

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1、1、（2001一试6）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（　　）．　Ａ．2枝玫瑰价格高　　Ｂ．3枝康乃馨价格高Ｃ．价格相同　　　　Ｄ．不确定【答案】A2、（2003一试5）已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=+的最小值是（）(A)(B)(C)(D)【答案】D3、（2004一试3）不等式+logx3+2>0的解集为（）A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4][来

2、源:学+科+网Z+X+X+K]【答案】C【解析】令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2)，Þx∈[2，4)，选C．4、（2005一试1）使关于的不等式有解的实数的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D5、（2006一试2）设，则的取值范围为（）A．B．C．　D．【答案】B6、（2007一试2）设实数a使得不等式

3、2x−a

4、+

5、3x−2a

6、≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）A.B.C.D.[−3，3]【答案】A【解析】令，则有，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A

7、正确。一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立。由于，所以，从而上述不等式等价于。7、（2001一试10）不等式的解集为。9、（2009一试3）在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数．【答案】【解析】由题意知[来源:Zxxk.Com]10、（2009一试4）使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为．【答案】2009【解析】设．显然单调递减，则由的最大值，可得．11、（2011一试3）设为正实数，

8、，，则．[来源:Zxxk.Com]12、（2012一试3）设，则的最大值是.13、（2001一试15）用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD若记，则S1、S2为定值，于是只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小4°对于图3把由R1、R2、

9、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，这就说明，要证结论成立14、（2003一试13）设≤x≤5，证明不等式2++<2．15、（2003二试3）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l≥q(q+1)2+1，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至

10、少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)．【解析】证明：设点集为V＝{A0，A1，…，An－1}，与Ai连线的点集为Bi，且

11、Bi

12、＝bi．于是1≤bi≤n－1．又显然有bi＝2l≥q(q+1)2+2．若存在一点与其余点都连线，不妨设b0＝n－1．则B0中n－1个点的连线数l－b0≥q(q+1)2+1－(n－1)(注意：q(q+1)＝q2+q＝n－1)＝(q+1)(n－1)－(n－1)+1＝(q－1)(n－1)+1[

13、来源:学科网]≥(n－1)+1≥[(n－1)]+1．(由q≥2)但若在这n－1个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n－1个点内至多连线[]条，故在B0中存在一点Ai，它与两点Aj、Ak(i、j、k互不相等，且1≤i，j，k)连了线，于是A0、Aj、Ai、Ak连成四边形．现设任一点连的线数≤n－2．且设b0＝q+2≤n－2．且设图中没有四边形．于是当i≠j时，Bi与Bj没有公共的点对，即

14、Bi∩Bj

15、≤1(0≤i，j≤n－1)．记＝VB0，则由

16、Bi∩B0

17、≤1，得

18、Bi∩

19、≥bi－1(i

20、＝1，2，…，n－1)，且当1≤i，j≤n－1且i≠j时，Bi∩与Bj∩无公共点对．从而(n－1)(n－b0)(n－b0－1)≥(nq－q+2－b0)(nq－q－n+3－b0)．(n－1≥q(q+1)代入)得q(q+1)(n－b0)(n－b0－1)≥(nq－q+2－b0)(nq－q－n+3－b0)．(各取一部分因数比较)①但(nq－q－n+3－b0)－q(n－b0－1)＝(q－1)b0－n+3(b0≥q+2)≥(q－1)(q+2)－n+3＝q2+q+1－n＝0．②(nq－q+2－b0)－(q+1