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1、2008年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)设函数fx=0x2ln(2+t)dt,则f'(x)的零点个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B。【解析】f'x=2xln(2+x2)且ln(2+x2)≠0，则x=0是f'(x)唯一的零点综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(2)函数fx,y=arctanxy在点(0,1)处的梯度等于(A)i(B)-i(C)j(D
2、)-j【答案】A。【解析】gradfx,y=∂f(x,y)∂xi+∂f(x,y)∂yj∂f(x,y)∂x=1y1+(xy)2=yx2+y2,∂f(x,y)∂y=-xy21+(xy)2=-xx2+y2所以gradfx,y(0,1)=f'x0,1i+f'y0,1j=1∙i+0∙j=i综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度精选(1)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是(A)y'''+y''-4y'-4y=0(
3、B)y'''+y''+4y'+4y=0(C)y'''-y''-4y'+4y=0(D)y'''-y''+4y'-4y=0【答案】D。【解析】由通解表达式y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x可知其特征根为λ1=1,λ2,3=±2i可见其对应特征方程为λ-1λ2+4=λ3-λ2+4λ-4=0故对应微分方程为y'''-y''+4y'-4y=0综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(2)设函数f(x)在(-∞,+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正
4、确的是(A)若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛(B)若{xn}单调，则{f(xn)}收敛(C)若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛(D)若{f(xn)}单调，则{xn}收敛【答案】B。【解析】【方法一】精选由于{xn}单调，f(x)单调有界，则数列{f(xn)}单调有界，根据单调有界准则知数列{f(xn)}收敛。【方法二】排除法：若取fx=1,x≥0-1,x<0,xn=(-1)nn,则显然f(x)单调，{xn}收敛，但fxn=1，n为偶数-1,n为奇数，显然{f(xn)}不收敛，排除A。若取fx=arct
5、anx,xn=n,显然{f(xn)}收敛且单调，但{xn}不收敛，排除C和D。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则(1)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0,则(A)E-A不可逆，E+A不可逆(B)E-A不可逆，E+A可逆(C)E-A可逆，E+A可逆(D)E-A可逆，E+A不可逆【答案】C。【解析】因为E-AE+A+A2=E-A3=EE+AE-A+A2=E+A3=E所以可知E-A可逆，E+
6、A可逆综上所述，本题正确答案是C。精选【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(1)设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程x,y,zAxyz=1在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则A的正特征值的个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B。【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为x2a2-y2b2-z2c2=1二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是A的特征值，可知A的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形(2)设
7、随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x),则Z=min{X,Y}的分布函数为(A)F2(x)(B)F(x)F(y)(C)1-1-F(x)2(D)1-F(x)[1-F(y)]【答案】A。精选【解析】FZx=PZ≤x=PmaxX,Y≤x=P{X≤x,Y≤x}=PX≤xPY≤x=FxFx=F2(x)综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布(1)设随机变量X~N0,1,Y~N(1,4),且相关系数ρXY=
8、1,则(A)PY=-2X-1=1(B)PY=2X-1=1(C)PY=-2X+1=1(D)PY=2X+1=1【答案】D。【解析】由相关系数的性质可知：如果
9、ρXY
10、=1,则必有PY=aX+b=1可得EY=aEX+b已知X~N0,1,Y~N(1,4),所以1=0+b,得b=1又1=ρXY=Cov(X,Y)DXDY而CovX,Y=CovX,aX+b=aCovX,X=a所以1=a14,a=2即PY=2X+1=1综上所述，
