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《2012届高考数学(文)一轮复习课件15导数的应用(人教a版)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十五讲导数的应用回归课本1.函数的单调性与导数在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负关系:(1)如果f′(x)>0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增.(2)如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.(3)如果f′(x)=0,那么f(x)在这个区间内为常数.2.函数的极值与导数(1)函数极值的定义若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且f′(a)=0,而且在x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则a点叫函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其
2、他点的函数值都大,且f′(b)=0,而且在x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则b点叫函数的极大值点,f(b)叫函数的极大值,极大值和极小值统称为极值.(2)求函数极值的方法解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,①如果在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值.②如果在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.③如果f′(x)在点x0的左､右两侧符号不变,则f(x0)不是函数极值.3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那
3、么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.4.解决优化问题的基本思路考点陪练1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且在x=-3时取得极值,则a的值为()A.2B.3C.4D.5解析:由题意得f′(x)=3x2+2ax+3.又f(x)在x=-3时取得极值,所以f′(-3)=30-6a=0,解得a=5.故选D.答案:D2.(2010·重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间[
4、-2,2]上的最大值是()A.0B.1C.2D.3解析:f′(x)=3x2-3,当x∈[-2,-1]或[1,2]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.故极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,∴f(x)在[-2,2]上的最大值为2.答案:C3.f(x)是定义在(-∞,+∞)上的可导的奇函数,且满足xf′(x)<0,f(1)=0,则不等式f(x)<0的解为()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,+∞)解析:由xf′
5、(x)<0知,当x>0时,f′(x)<0,即函数在(0,+∞)内单调递减,而f(1)=0,故当x>0时,由f(x)<0可得x>1,又因为函数为奇函数,故当x<0时,不等式f(x)<0的解集为0>x>-1,故选B.答案:B答案:C5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的有________.①函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减;②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减;③当x=-3时,函数f(x)有极大值;④当x=7时,f(x)有极小值.解析:由图象可得,在区间(-3,1)内f(x)的导函数值大于零,所以f(x)单调递增;在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零,所以
6、f(x)单调递减;在x=-3左右的导函数符号不变,所以x=-3不是函数的极大值点;在x=7左右的导函数符号由负到正,所以函数f(x)在x=7处有极小值.故填②④.答案:②④类型一函数的单调性解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数.【典例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,
7、1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.[分析]第(1)问由f(x)在R上是增函数知f′(x)≥0在R上恒成立,进而转化为最值问题;(2)作法同第(1)问.[解](1)由已知f′(x)=3x2-a,∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(
