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1、第四章数学规划模型一、数学规划模型1.模型的建立问题1某厂利用甲,乙,丙,丁四种设备生产A,B,C三种产品,相关数据如表所示.已知这三种产品的单件利润分别是4.5,5,7（百元）,试问该厂应如何安排生产可获得最大利润?ABC总工时甲224800乙123650丙423850丁242700甲乙丙丁注意到变量代表的是产品的产量,故有抽去所给问题的具体意义,我们得到原问题的数学关系为分析该问题的关键所在是确定每种产品的产量,为此以表示三种产品的产量,则目标为在一个生产周期中,每种设备所提供的工时为有限的,故对四种设备而言还应该满足下列条件:非负性用Lingo软件可以
2、得到相应问题的解.启动Lingo,在窗口下中输入下列程序:保存完之后执行Lingo菜单下的Solve命令,得到相应的解.VariableValueReducedCostX185.714290.000000X271.428570.000000X3121.42860.000000RowSlackorSurplusDualPrice11592.8571.00000020.0000001.357143357.142860.00000040.0000000.214285750.0000000.4642857问题2某车间要制造100套钢筋架,每套需要长为2.92.11.
3、5的钢筋各一根.已知原料钢筋长度为7.4问如何切割钢筋,使得钢筋的利用率为最高?分析该问题的要点是如何切割钢筋,使得每次切割之后,剩下的余料为最少?假设在切割过程中,我们不考虑钢筋的损耗,并考虑各种切割方案:方案2.92.11.5余料1103022010.130220.241200.350130.8非负性从分析中可以看出,此问题的关键是确定每种方案下的余料数.设表示第种方案中使用的原料钢筋数,则余料数为而相应的限制条件为故原问题的数学关系式为非负性在Lingo下得到该问题的解为运行后得到该问题的解为X225.000000.000000X30.0000000.
4、3666667X425.000000.000000X50.0000001.283333X125.000000.000000线性规划的模型一般可表示为非负性注线性规划的目标函数还可以用min来表示,表示追求目标函数的最小值.而表示约束条件:（Subjectto）.问题3要从甲地调出物质2000吨,从乙地调出物质1100吨,分别供给地1700吨,地11吨,地200吨和100吨,已知每吨运费如表所示,试建立一个使运费达到最小的调拨计划.单位路程运费表销地15375151乙1572521甲DCBA产地分析设从第个产地到第个销地的运输量为运输成本为则问题的目标函数为由
5、于从第一个产地调出的物质的总和为第一个产地的产量,即有同理,有对称地,对销地而言,有关系由此得到该问题的数学模型注该问题又称为运输问题.运输问题的一般形式可写成其中是第个产地的产量,是第个销地的需求量.在上面的关系中,有相应的运输问题称为产销平衡的运输问题.若产销不平衡,应该如何处理?为什么总是假定产销是平衡的.问题4随机规划模型决策者要建造一座水库,使水库的容量在满足给定的限制条件下达到最小,以使其造价最小.分析1.在一年中的第个季节水库应留出一定的容量以保证洪水的注入.由于洪水量是一个变数,故假定以较大的概率使得其中为第个季节的储水量.2.为保证灌溉,发
6、电,航运等用水供应,水库在每个季节应能保证一定的放水量考虑到这仍然是一随机因数,要求满足满足这一条件的概率不小于即其中为第个季节的可放水量.3.为保证水库的安全和水生放养,水库还应有一定的储水量即由此得到相应问题的数学模型为:问题5某公司准备派个工人去完成项工作已知第个工人完成第工作的效率为求如此的一个指派方案,使工人完成这些工作的效率为最大.该问题可用一个网络图来表示:其中表示顶点集,是边集,是权集.该问题即是从的每一个顶点,找出唯一的一条到的某一个的边,使得权之和为最大.模型建立若以表示在顶点存在边,否则则目标函数可表示为而从的每一个顶点只能作一条边等价
7、于同样,连惟一的一条边等价于由此得到相应的数学模型为这样的规划又称为0-1规划.注1很多实际问题都可以转化成这样的模型.例如游泳接力队员的选拔.注2当人数和工作数不相同时,这样的问题应该如何求解,又当时,并且容许一个人能完成两件工作,又该如何解决?二、模型的求解例1一奶制品加工厂用牛奶生产两种奶制品,1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工生产3公斤或则在设备乙上用8小时加工成4公斤根据市场需要,生产的全部能售出,且每公斤获利24元,每公斤可获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天工人总的劳动时间为480小时,并且设备甲每天至多能加工100公斤设备
8、乙的加工能力没有限制.试为该厂制定一个生产计划,使每
