《电动力学》课后答案.pdf

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1、电动力学习题解答电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：∇(A⋅B)=B×(∇×A)+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+(A⋅∇)BA×(∇×A)=1∇A2−(A⋅∇)A2解：（1）∇(A⋅B)=∇(A⋅B)+∇(B⋅A)cc=B×(∇×A)+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+(A⋅∇)Bcccc=B×(∇×A)+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+(A⋅∇)B（2）在（1）中令A=B得：∇(A⋅A)=2A×(∇×A)+2(A⋅∇)A，所以A×(∇×A)=1∇(A⋅A)−(A⋅∇)A2

2、即A(A)12(A)A×∇×=∇A−⋅∇22.设u是空间坐标x,y,z的函数，证明：dfdAdA∇f(u)=∇u，∇⋅A(u)=∇u⋅，∇×A(u)=∇u×dududu证明：∂f(u)∂f(u)∂f(u)df∂udf∂udf∂u（1）∇f(u)=e+e+e=e+e+exyzxyz∂x∂y∂zdu∂xdu∂ydu∂zdf∂u∂u∂udf=(e+e+e)=∇uxyzdu∂x∂y∂zdu∂Ax(u)∂Ay(u)∂Az(u)dAx∂udAy∂udAz∂u（2）∇⋅A(u)=++=++∂x∂y∂zdu∂xdu∂ydu∂zd

3、AxdAydAz∂u∂u∂udA=(e+e+e)⋅(e+e+e)=∇u⋅xyzxyzdududu∂x∂y∂zdueeexyzdA（3）∇u×=∂u/∂x∂u/∂y∂u/∂zdudA/dudA/dudA/duxyzdAz∂udAy∂udAx∂udAz∂udAy∂udAx∂u=(−)e+(−)e+(−)exyzdu∂ydu∂zdu∂zdu∂xdu∂xdu∂y∂Az(u)∂Ay(u)∂Ax(u)∂Az(u)∂Ay(u)∂Ax(u)=[−]e+[−]e+[−]exyz∂y∂z∂z∂x∂x∂y=∇×A(u)2223.设r=

4、(x−x')+(y−y')+(z−z')为源点x'到场点x的距离，r的方向规定为第1页电动力学习题解答从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：33∇r=−∇'r=r/r；∇(1/r)=−∇'(1/r)=−r/r；∇×(r/r)=0；33∇⋅(r/r)=−∇'⋅(r/r)=0，(r≠0)。（2）求∇⋅r，∇×r，(a⋅∇)r，∇(a⋅r)，∇⋅[Esin(k⋅r)]及0∇×[Esin(k⋅r)]，其中a、k及E均为常向量。00222（1）证明：r=(x−x')+(y−y')+

5、(z−z')○1∇r=(1/r)[(x−x')ex+(y−y')ey+(z−z')ez]=r/r∇'r=(1/r)[−(x−x')e−(y−y')e−(z−z')e]=−r/rxyz可见∇r=−∇'r⎛1⎞d⎛1⎞1r○2∇⎜⎟=⎜⎟∇r=−∇r=−23⎝r⎠dr⎝r⎠rr⎛1⎞d⎛1⎞1r∇'⎜⎟=⎜⎟∇'r=−∇'r=23⎝r⎠dr⎝r⎠rr可见∇(1/r)=−∇'(1/r)3333○3∇×(r/r)=∇×[(1/r)r]=∇(1/r)×r+(1/r)∇×rd⎛1⎞3r=⎜⎟∇r×r+0=−×r=034dr⎝

6、r⎠rr3331○4∇⋅(r/r)=∇⋅[(1/r)r]=∇(1/r)⋅r+∇⋅r3r3r3=−⋅r+=0，(r≠0)43rrr（2）解：∂∂∂○1∇⋅r=(ex+ey+ez)⋅[(x−x')ex+(y−y')ey+(z−z')ez]=3∂x∂y∂zeeexyz○2∇×r=∂/∂x∂/∂y∂/∂z=0x−x'y−y'z−z'∂∂∂○3(a⋅∇)r=(ax+ay+az)[(x−x')ex+(y−y')ey+(z−z')ez]∂x∂y∂z=ae+ae+ae=axxyyzz○4∇(a⋅r)=r×(∇×a)+(r⋅∇)a

7、+a×(∇×r)+(a⋅∇)r因为，a为常向量，所以，∇×a=0，(r⋅∇)a=0，又∵∇×r=0，∴∇(a⋅r)=(a⋅∇)r=a○5∇⋅[E0sin(k⋅r)]=(∇⋅E0)sin(k⋅r)+E0⋅[∇sin(k⋅r)]E为常向量，∇⋅E=0，而∇sin(k⋅r)=cos(k⋅r)∇(k⋅r)=cos(k⋅r)k，00第2页电动力学习题解答所以∇⋅[Esin(k⋅r)]=k⋅Ecos(k⋅r)00○6∇×[E0sin(k⋅r)]=[∇sin(k⋅r)]×E0=k×E0cos(k⋅r)]4.应用高斯定理证明∫V

8、dV∇×f=∫SdS×f，应用斯托克斯（Stokes）定理证明∫dS×∇ϕ=∫dlϕSL证明：（I）设c为任意非零常矢量，则c⋅∫dV∇×f=∫dV[c⋅(∇×f)]VV根据矢量分析公式∇⋅(A×B)=(∇×A)⋅B−A⋅(∇×B)，令其中A=f，B=c，便得∇⋅(f×c)=(∇×f)⋅c−f⋅(∇×c)=(∇×f)⋅c所以c⋅∫dV∇×f=∫dV[c⋅(∇×f)]=∫d