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1、高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1． 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k, a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；高考递推数列
2、题型分类归纳解析第33页共33页（II）求{an}的通项公式.解：∵， ∴，即 ∴， …… …… 将以上k个式子相加，得 将代入，得 ， 。 经检验也适合，∴类型2． 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。高考递推数列题型分类归纳解析第33页共33页例1:已知数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又，例2:已知， ，求。 解： 。例3:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)， 则{an}的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得 当时，，即，又， ，将以上n个式子相
3、乘，得类型3．（其中p，q均为常数，）。高考递推数列题型分类归纳解析第33页共33页解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例1:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即. 故递推公式为,令，则,且. 所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.例2:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项＝_____（key:）例3:（2006.福建.理22.）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：（I）解： 是以为首项，2为公比的等比数列 高
4、考递推数列题型分类归纳解析第33页共33页 即 （II）证法一：①②②－①，得即③－④，得 即 是等差数列 证法二：同证法一，得，令得 设下面用数学归纳法证明 （1）当时，等式成立 高考递推数列题型分类归纳解析第33页共33页（2）假设当时，那么 这就是说，当时，等式也成立 根据（1）和（2），可知对任何都成立 是等差数列 （III）证明： 变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．类型4．（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q, r均为常数）。高考递推数列题型分类归纳解析第33页共33页解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得
5、：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例1:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得： 令，则,解之得： 所以例2:（2006，全国I,理22）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解：（I）当时，； 当时，， 即，利用（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）的方法，解之得：高考递推数列题型分类归纳解析第33页共33页(Ⅱ)将代入①得 Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1) Tn==×=×(－)所以,=－)=×(－)<类型5．递推公式为（其中p，q均为常
6、数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足解法二(特征根法)：[这是新补充的方法，仅供学有余力的同学用]对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数——迭加法）:数列：，，求数列的通项公式。高考递推数列题型分类归纳解析第33页共33页由，得 ，且，则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，……。把以上各式相加，得。。解法二
7、（特征根法）：[补充的方法，供学有余力的同学看]数列：，的特征方程是：。高考递推数列题型分类归纳解析第33页共33页,∴。又由，于是故例1:已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，高考递推数列题型分类归纳解析第33页共33页即又，所以。例2:（2006，福建,文,22）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 （I）证明： 是以为首项，2为公比的等比数列 （II）解：
8、由（I）得 （III）证明：高考
