不等式的证明（三）.doc

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1、第六章　不等式第八课时§6.3.3　不等式的证明（三）教学目标（一）教学知识点综合法证明不等式.（二）能力训练要求1．理解综合法证法不等式的意义.2．熟练掌握过去学过的重要不等式，并用这些不等式来证明新的不等式.（三）德育渗透目标掌握综合法证明不等式，培养学生严谨周密的逻辑思维习惯，加强学生实践能力的训练，由因导果，进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育，确实提高学生的思想道德品质.教学重点1．掌握综合法证明不等式的基本思路，即“由因导果”，从已知条件及已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证

2、的结论.2．理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A（已知）B1B2…BnB（结论）.运用不等式的性质和已证明过的不等式时，要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确，结论无误.3．在综合法证明不等式的过程中常用的关系有：（1）a2≥0或（a±b）2≥0.（2）a2＋b2≥2ab，a2＋b2≥－2ab即a2＋b2≥2

3、ab

4、.（3），对a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取“＝”号.（4）当a，b同号时有2，当且仅当a＝b时取“＝”号.教学难点“由因导果”时，从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.教学方法引

5、导、探索、综合、归纳四步教学法.教具准备幻灯片三张第一张：记作§6.3.3　A综合法证明不等式的常用关系1．a2≥0或（a±b）2≥0；2．a2＋b2≥2ab，a2＋b2≥－2ab即a2＋b2≥2

6、ab

7、；3．（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；4．（a，b∈R）；ab（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；5．，当且仅当a＝b时取“＝”号.第二张：记作§6.3.3　B［例2］（1）设a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：8abc≤（1－a）(1－b)(1－c).（2）设a，b，c为一

8、个不等边三角形的三边，求证：abc＞(b＋c－a)(a＋b－c)(c＋a－b).（3）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：（4）设x＞0，y＞0，求证：第三张：记作§6.3.3　C课后练习：1．证明下列不等式：（1）a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；（2）（a＋b）(b＋c)(c＋a)≥8abc（a＞0，b＞0，c＞0）.2．制造一个容积为V（定值）的圆柱形容器，试分别就容器有盖及无盖两种情形，求怎样选取底半径与高的比，使用料最省？教学过程Ⅰ．课题导入［师］同学们，前面我们学习了两个正数的算术平均数

9、与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.（打出幻灯片§6.3.3　A，引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读幻灯片§6.3.3　A）我们要掌握下面重要的不等关系：（1）a2≥0或（a±b）2≥0；（2）a2＋b2≥2ab，a2＋b2≥－2ab，即a2＋b2≥2

10、ab

11、；（3）（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号.（4）（a，b∈R）；ab（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；（5），当且仅当a＝b时取“＝”号.今天，我们在上一节课学习“公式法”正明不等式的基础上，继续学习证明

12、不等式的一种常用的重要的方法——综合法.Ⅱ．讲授新课（简述“综合法”证明不等式的基本思想）［师］有时我们可以利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立.这种证明不等式的方法，我们通常叫做综合法.（关于“综合法”证明不等式，在后面“备课资料”中有较详细的说明）下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式.［例1］已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.［师］观察题目，不等式左边含有“a2＋b2”的形式，

13、我们可以创设运用基本不等式a2＋b2≥2ab；还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b，b2c，c2a，ab2，bc2，ca2的“和”，右边有三正数a，b，c的“积”，我们可以创设运用重要不等式a3＋b3＋c3≥3abc.（教师引导学生，完成证明）［生］∵a＞0，b2＋c2≥2bc，∴由不等式的性质定理4，得a(b2＋c2)≥2abc.　　　　　　　　　　①同理b(c2＋a2)≥2abc，②c(a2＋b2)≥2abc.③因为a，b，c为不全相等的正数，所以b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥

14、2ab三式不能全取“＝”号，从而①，②，③三式也不能全取“＝”号.由不等式的性质定理3的推论，①，②，③三式相加得：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.［师生共析］1．“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，综合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立.2．在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运