2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程教学案理北师大版.doc

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1、第8讲　曲线与方程一、知识梳理1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．3．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x

2、，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．常用结论1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．二、教材衍化181．已知点F，直线l：x＝－，点B

3、是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)A．双曲线　　　　　B．椭圆C．圆D．抛物线解析：选D.由已知

4、MF

5、＝

6、MB

7、，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．2．曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为________．解析：在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为

8、x0

9、

10、y0

11、＝

12、x0y0

13、＝2.答案：23．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为___

14、_____．解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．(　　)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(　　)(4)方程y＝与

15、x＝y2表示同一曲线．(　　)(5)y＝kx与x＝y表示同一直线．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×二、易错纠偏(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．18(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．(2)若动圆在

16、y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x＝－1的距离相等，其轨迹是抛物线，且＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．答案：(1)圆　(2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．解析：由角的平分线性质定理得

17、PA

18、＝2

19、PB

20、，设P(x，y)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2

21、＝4(y≠0)．答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)　　　　　　直接法求轨迹方程(师生共研)已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(2，3)，C(1，2)，定点P(1，1)．(1)求△ABC外接圆的标准方程；(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程．【解】　(1)由题意得AC的中点坐标为(0，)，AB的中点坐标为，kAC＝，kAB＝1，故AC中垂线的斜率为－，AB中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y－＝－x，AB的中垂线的方程为y－＝－.由得18所以△ABC的外接圆圆心为(2，0)，半径r＝

22、2＋1＝3，故△ABC外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)设弦EF的中点为M(x，y)，△ABC外接圆的圆心为N，则N(2，