4.1 晶体的光学各向异性

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1、4.1晶体的光学各向异性4.1.1张量的基础知识1.张量的概念（1）.把一个标量与一个或者多个矢量以等式的形式关联起来，等式的关联系数（即关联因子；下同）就是张量。（2）.把一个标量与一个张量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。（3）.把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。（4）.把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。由此可见，张量就是使一个矢量（或者标量）与另一个及多个其它矢量（或者张量）相关联的物理量。张量又称为并矢，其详细内容将在《张量代数与张量分析》课程中学习。例如，矢量p与矢量q有关，则其一般关系应为：

2、式中，是关联p和q的二阶张量。在直角坐标系O-x1x2x3中，上式可表示为矩阵形式：式中，三个矩阵分别表示矢量p、二阶张量和矢量q。二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标(按一定顺序)相关。张量也可以用其分量形式表示如下：其一般分量形式为：按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，将上式简化为pi=Tijqji,j=1,2,3(4-5)可以看出：如果是张量，则p矢量的某坐标分量不仅与q矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。如果矢量p与两个矢量u和v相关，其一般关系式为：分量表示式为：式中，为三阶张量，它包含27个张量元素，其矩阵形式为：pi=

3、Tijkujvki,j,k=1,2,3实际上，一个标量可以看作是一个零阶张量，一个矢量可以看作是一个一阶张量。从分量的标记方法看，标量无下标，矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。因此，下标的数目等于张量的阶数。2.张量的变换如上所述，由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发生变化时，张量的表示式也将发生变化。假若在原坐标系中，某张量表示式为［Tij］，在新坐标系中，该张量的表示式为［Tij′］,则当原坐标系O-x1x2x3与新坐标系的坐标变换矩阵为［aij］时，与的关系为:其分量表示形式为:这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标分量，可通过逆变换得到:如

4、果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式A′与原坐标系中的表示式A间的矩阵变换关系为:i,j,k,l=1,2,3其分量变换公式为:i,j=1,2,33.对称张量一个二阶张量［Tij］，如果有Tij=Tji，称为对称张量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张量:经上述主轴变换后，可表示为:最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此

5、，有时把张量写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。4.1.2晶体的介电张量由电磁场理论已知，介电常数ε是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中，电位移矢量D与电场矢量E满足如下关系：在此，介电常数ε=ε0εr是标量，电位移矢量D与电场矢量E的方向相同，即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量线性相关。对于各向异性介质(例如晶体)，D和E间的关系为:介电常数是二阶张量。其分量形式为：即电位移矢量D的每个分量均与电场矢量E的各个分量线性相关。在一般情况下，D与E的方向不相同。又由光的电磁理论，晶体的介电张量是一个对称张量，因此它有六个独立分量。经主轴变换后的介电张量是对角张量，只有三

6、个非零的对角分量，为：i,j=1,2,3ε1,ε2,ε3称为主介电系数。由麦克斯韦关系式：还可以相应地定义三个主折射率n1,n2,n3。在主轴坐标系中，电位移矢量的分量形式可表为：此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为七大晶系：立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶系；正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表4-1所示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主介电系数ε1≠ε2≠ε3,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主介

7、电系数ε1=ε2≠ε3,这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，ε1=ε2=ε3。4.1.3晶体的光学各向异性——七大晶系的光学性质简介表4-1各晶系的介电张量矩阵