lecture 06-回溯算法

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1、算法设计与分析刘东林ldliu@ecust.edu.cn华东理工大学信息学院计算机系Lecture06回溯算法学习要点理解回溯法的深度优先搜索策略。掌握用回溯法解题的算法框架（1）递归回溯（2）迭代回溯（3）子集树算法框架（4）排列树算法框架通过应用范例学习回溯法的设计策略。（1）装载问题；（2）批处理作业调度；（3）0-1背包问题；（4）n后问题；（5）旅行售货员问题（6）符号三角形问题（7）图的m着色问题（8）最大团问题（9）圆排列问题（10）电路板排列问题（11）连续邮资问题有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使

2、用回溯法。回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。回溯法回溯法的基本思想回溯法的基本步骤：(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。1.问题的解空间:

3、应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。例，对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。当n=3时，其解空间是：{（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0）（1，1．1）}注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。显约束：对分量xi的取值

4、限定。隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。2、确定解空间结构定义了问题的解空间后，下一步是组织解空间以便它能被容易地搜索。典型的组织方法是图或树。n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。从树根到叶的任一路径表示解空间中的一个元素。例如，从根结点到结点H的路径相应于解空间中元素（1，1，1）。3、搜索解空间一旦定义了解空间的组织方法，这个空间即可按深度优先的方法从开始节点进行搜索。回溯法从开始结点（根结点

5、）出发，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。回溯法的基本思想关于复杂性：用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从

6、根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。例10-1背包问题n=3,C=30,w={16,15,15},v={45,25,25}n=3,C=30,w={16,15,15},v={45,25,25}开始时，Cr=C=30，V=0，A为唯一活结点，也是当前扩展结点扩展A，先到达B结点Cr=Cr-w1=14，V=V+v1=45此时A、B为活结点，B成为当前扩展结点扩展B，先到达DCr

7、J导致一个不可行解，回溯到E再次扩展E到达K由于K是叶结点，即得到一个可行解x=(1,0,0)，V=45K不可扩展，成为死结点，返回到EE没有可扩展结点，成为死结点，返回到BB没有可扩展结点，成为死结点，返回到AA再次成为扩展结点，扩展A到达CCr=30，V=0，活结点为A、C，C为当前扩展结点扩展C，先到达FCr=Cr-w2=15，V=V+v2=25，此时活结点为A、C、F，F成为当前扩展结点扩展F，先到达LCr=Cr-w3=0，V=V+v3=50L是叶结点，且50>45，皆得到一个可行解x=(0,1,1)，V=50L不可扩展，成为死结点，返回到F扩展C，先到