正态分布的常用解题方法

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1、中学生数学·2009年4月上·第367期(高中)国困园常用解题方结高毫湖南省炎陵县第一中学(412500)霍建飞张李军固一例3(2008y饱、利用正态曲线的性质’正态分布在生产生活中应用广泛，近年来安徽)设两个正态／1．0．v2，皤)在高考中不断出现，本文将阐述正态分布的常分布N(1，)(d1

2、‘用解题方法．>0)和N(z，)

3、6r／／／o．4．／0例1(2007全国1I)在某项测量中，测量(a2>O)的密度函1．2结果服从正态分布N(1，)(>0)．若在数图像如图3所一1．0—0．5O0．51．0(O，1)内取值的概率为0．4，则在(0，2)内取示．则有()．图

4、3值的概率为．(A)1<2，1<2(B)1<2，O"1>a2解因为服从(C)l>2，0"1<2(D)1>／J2，0"1>a2正态分布N(1，)(／一一解由正态曲线的性质，易知选(A)．>0)，所以的正态曲点拨若～N(，0．2)，则曲线关于直线z．／／。Dl2】—对称，当一定时，曲线的形状由d确定，线关于直线z一1对称，如图1，所以在越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；(1，2)内取值的概率等越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．图1于在(o，1)内取值的二、利用标准正态分布的性质概率．所以在(0，2)内取值的概率为0．8．例3(2007湖南)设随机变

5、量服从标准例2(2008湖南)设随机变量服从正态正态分布N(O，1)，已知(一1．96)=：=0．025，则分布N(2，9)，若P(>c+1)===P(一c+1)，则尸(<1．96)一()．c一()．(A)0．025(B)0．050(A)1(B)2(C)3(D)4(C)0．950(D)0．975解因为的正．yL解P(1<1．96)：P(一1．96<<态曲线关于直线z一21．96)一(1．96)一(一1．96)一1—2(一1．96)对称，如图2，所以c+一0．95O．寸／I1与C一1关于z一20c一12c+1例4如图y对称，c+1+c一1—4，4，是正态分布c一2，

6、选(B)．N(0，1)的正态图2＼。点拨若～曲线图，下面四一aON(，)，则其正态曲线关于直线—对称，利个式子中，能表用此对称性能解决取值区间关于z=：=对称时示图中阴影部分图4的区间上的概率及不同区间的概率相等问题，画面积的个数为(謦出图形解题往往快速准确．①1一声(一口)②{＆(一口)◇网址：ZXSS．chinajourna1．net．an●37●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．cn中学生数学·2009年4月上·第367_期(高中：)点拨对于求～N(，)的有关概率③(n)一④[(n)一(一n)]问题，常利用公式①P(≤z)一(x-,u)，

7、(A)1个(B)2个q、D高．(C)3个(D)4个②P(a<≤6)一(b-~u)一(a-／z)，③P解阴影部分面积为[≯(O)一(-a)]，(>)一1一声(x-／z)将其转化为标准正态围由于(o)一÷，故①正确，分布问题．泡由(-a)一1一声(n)，得③正确，四、利用正态分布中的特征参数的意义④取①与③的和的一半，得④，例7如果随机变量～N(，)，且E一故选(C)．3，D：==1，则P(一1<≤1)等于()．·点拨若N(O，1)，则其正态曲线关于Y(A)2(1)一1(B)(4)一声(2)轴对称，且有(1)P(z)一(z)，(2)(-x)一(C)(2)一(4)(D)

8、(一4)一(一2)1一()，(3)P(口<≤6)一(6)一拳(口)，解对于正态分布，一E一3，一D一(4)(O)一÷．1，是平均数(或期望)，d是标准差，故P(一1三、利用正态分布与非标准正态分布的关系<≤1)一(1—3)一(一1—3)一(4)一例5(2007安徽)以(z)表示标准正态(2)，选(B)．总体在区间(一cx。，z)内取值的概率，若随机变例8如果随机变量服从N(3，2)，叩一量服从正态分布N(／z，)，则概率P(1~-／zl，求椭机变量叩服从何种正态分布．<)等于()．解因为～N(3，2)，(A)(+)一(一)所以E===3，D一2。一4，(B)(1)

9、一≯(一1)又一，(C)(：)(D)2声(+)故E一E()一号(雎一3)-0,解P(1一l<口)一P(II<1)D一D(￡)一去D=1．一(1)一(一1)．所以叼服从标准正态分布．例6设随机变量～N(，6)，叩～N(，点拨(1)若～N(／Z，)，则E一，D8)，记P===P(≤一6)，P2一P(rl~／z+8)贝0一．(2)若～N(，口)，则叩一口+6也服从有()．正态分布，且E一nE+b—a,u+b，D一a2D(A)P1一P2(B)P1>P2—nd，只要利用这个椭机变量函数的期望，方(C)P1

10、P1一P(