数学精典习题模式化解题分析与反思(三).doc

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1、数学精典习题模式化解题分析与反思［问题］:设f(x)=2X,f(x)的反函数为厂'(X),关于X的方程广I(ax)・厂'(ax2)=厂(16)的解都在区间(0,1)内，求实数q的取值范围。［分析］:奥林匹克数学竞赛最早发起人之一，苏联著名数学家塔尔塔科夫斯基教授在回答“怎样解题”这个经常提出的问题时，打比方说，“寻找解题就好像去抓藏在石堆里的老鼠。”这就有两种方法:可以把这个石堆的石头一块接一块地逐渐地搬开，直到露出老鼠来。这时，你们再扑上去,抓住它可是，也可以用另一种方法，就是围绕石堆不停止地来回走动，并留心观察，看看什么地方露出老鼠尾巴没有。

2、一旦发现老鼠尾巴，你们就用手抓住它，并把老鼠从石堆里拖出来。这要求我们，既善于把一个问题分解为一些问题(然后分别求解小问题)，又要善于分析问题的实质，直捣问题的关键。1.搬掉第…块右•头：由已知/(x)=2A的反函数为/-'U)=log2x,原题变为：log2(^)-log2(6?x2)=log216=4的解都在区间(0,1)内，求实数Q的取值范囤。反思：(1)本题给出反函数只是为了使问题的背景复杂化，是知识点的堆砌。对这种类型的问题，要采用“逐块搬去石堆上的石头的方法”(2)新课标大幅度降低了对反函数的要求，反函数的处理，只要求以具体函数为例进

3、行解释和直观理解，例如，可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=Q和对数函数y=log,x(6z>0卫主1)互为反函数。不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数/本题中与反函数的结合恰好体现了新课标的要求。2.搬掉第二块石头:log2(tzx)-log2(tzx_)=log216=4«>(log2a+log2x)(log2a+21og2x)=4,这一步起到了分离变量。与兀的作用，使得这个对数方程的结构特征开始明朗化了0到此处,我们应该想到进行变量代换了，令r=log2x,引入新字母要考虑新字母的取值范围，v0

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5、解题就好像去抓藏在石堆里的老鼠。”这就有两种方法:可以把这个石堆的石头一块接一块地逐渐地搬开，直到露出老鼠来。这时，你们再扑上去,抓住它可是，也可以用另一种方法，就是围绕石堆不停止地来回走动，并留心观察，看看什么地方露出老鼠尾巴没有。一旦发现老鼠尾巴，你们就用手抓住它，并把老鼠从石堆里拖出来。这要求我们，既善于把一个问题分解为一些问题(然后分别求解小问题)，又要善于分析问题的实质，直捣问题的关键。1.搬掉第…块右•头：由已知/(x)=2A的反函数为/-'U)=log2x,原题变为：log2(^)-log2(6?x2)=log216=4的解都在区间

6、(0,1)内，求实数Q的取值范囤。反思：(1)本题给出反函数只是为了使问题的背景复杂化，是知识点的堆砌。对这种类型的问题，要采用“逐块搬去石堆上的石头的方法”(2)新课标大幅度降低了对反函数的要求，反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，例如，可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=Q和对数函数y=log,x(6z>0卫主1)互为反函数。不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数/本题中与反函数的结合恰好体现了新课标的要求。2.搬掉第二块石头:log2(tzx)-log2(tzx_)=log216=4

7、«>(log2a+log2x)(log2a+21og2x)=4,这一步起到了分离变量。与兀的作用，使得这个对数方程的结构特征开始明朗化了0到此处,我们应该想到进行变量代换了，令r=log2x,引入新字母要考虑新字母的取值范围，v0

8、一元二次方程根的分布问题模式：m>0m<-2或加>2A=/n2+32>03tx+=——m<0<=>・2m2-4tt°=>0・2m=lo