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1、昆明大学学报(综合版)2004,(2):39~42CN53-1144/G4JournalofKunmingUniversityX纯弯曲正应力公式用于横力弯曲中的误差分析崔婷(昆明大学电子信息与机械工程系,云南昆明650118;41岁,女,讲师)摘要:用弹性力学的精确方法,证明直梁弯曲时,按纯弯曲推导出的正应力公式,应用到更一般情况的横力弯曲时,只要满足一定的条件,精度可以满足工程应用的要求.关键词:弹性力学纯弯曲正应力应力函数M(x)y在材料力学中,根据杆件受纯弯曲变形,推导出了纯弯曲直梁正应力计算公式Rx=-,工Iz程实际中的梁大多发生横力弯曲变形,即横截面上
2、既有剪力,又有弯矩,在计算弯曲正应力时,仍然用M(x)yRx=-,这样势必会带来误差.本文用弹性力学精确方法,推算误差为多大,是否满足工程要求.Iz1用弹性力学平面问题的应力函数法求承受均布载荷作用的矩形截面简支梁的应力222555555引入应力函数5,则有:Rx=2,Ry=2,Sxy=5y5x5x5y若以Rx和Ry分别代表边界AB段上边界力的合力在x及y方向的分力的大小,xA,yA,xB,yB分别为A,B点的几何坐标,以A为起算点,B为终点,则有:5555=Rx+5yB5yA5555=Ry+5xB5xAX收稿日期:2004-04-1540昆明大学学报(综合版)
3、第15卷555555555B=MB+xB+yB+5A-xA-yA5xA5yA5xA5yA5555式中MB是AB段边界力对B点取矩的代数和.由于在单连域中,线性项,,5A与求应5xA5yA55力所用的二阶导数的结果无关,而且从不同点起算并不影响其结果,所以允许设起算点A点的,5xA55,5A为零.5yA5555因而有:=Rx,=Ry,5B=MB5yB5xB即:应力函数5为被分析一段边界上的力对该段终点的力矩的代数和,而应力函数5的导数与边界上的合力的主向量的分量有关.根据边界上的5及其导数的力学意义来选择并确定应力函数.111建立梁的上、下表面上应力函数的边界条件
4、h取A(0,-)为边界的起算点,令:255555A===05xA5yA则AB边界上的5和5的导数值为:h0[x[L,y=-处:255555=0,=0,=05x5y在CD边界上:h0[x[L,y=处:2112551555=qLx-qx,=ql-qx,=0225x25y112根据上述边界上的5及其导数,可假设5的形式为125=f0(y)+f1(y)x+f2(y)x2由此,边界条件可以写为:h1y=时,f0=0,f1=qL,f2=-q22df0df1df2===0dydydyhy=-时,f0=0,f1=0,f2=02df0df1df2===0dydydy4函数5应当满
5、足双调和方程,即:¨5=0,得:2444df2df0df11df2222+4+4x+4x=0dydydy2dy在任何x值时上式都成立,因此有:2444df2df0df1df222+4=0,4=0,4=0dydydydy4df132由4=0,设f1=ay+by+cy+ddydf12=3ay+2by+cdy第2期崔婷:纯弯曲正应力公式用于横力弯曲中的误差分析41h1hhdf1hdf1将y=时,f1=qL;y=-时,f1=0;y=时,=0;y=-时,=02222dy2dy分别代入上二式,并解联立方程得:qL3qL1a=-3,b=0,c=,d=qLh4h4qL33qL1
6、故:f1=-3y+y+qLh4h44df2同理,由4=0,得到dy2q33q1f2=3y-y-qh2h224df2df0再由22+4=0dydy42df0df224q4=-22=-3y(1)dydyh5432设f0=Ay+By+Cy+Dy+Ey+F(2)df0432=5Ay+4By+3Cy+2Dy+E(3)dy4df024q由(1)式:4=120Ay+24B=-3ydyh24q要使上式成立,必须:120A=-3qA=-3h5h24B=0B=0hhhdf0hdf0将y=-时,f0=0;y=时,f0=0;y=-时,=0;y=时,=0分别代入(2),222dy2dy(
7、3)式并解联立方程得:1q1C=,D=0,E=-qh,F=010h80q5q3qh故f0=-y+y-y5h310h80q5q3qhqL33qL112q33q125=-3y+y-y+(-3y+y+qL)x+(3y-y-q)x5h10h80h4h42h2h222556q(Lx-x)343Rx=2=-3y+q(y-3y)5yh5hh2552q33q1Ry=2=3y-y-q5xh2h2225562h1Sxy=-=3(y-)(qL-qx)5x5yh42由材料力学得到:112(qLx-qx)2M(x)y226q(Lx-x)Rx=-=-3=-3yIz1#hh12211h2QS
8、*(qL-qx)##-y
