基于间断有限元方法的二维悬沙数值模型的建立-论文.pdf

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1、泥沙研究2014年2月JournalofSedimentResearch第1期基于间断有限元方法的二维悬沙数值模型的建立赵张益，张庆河(天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津300072)摘要：基于间断有限元法建立了具有二阶精度的非结构化网格二维悬沙数值模型。矩形浓度场理想算例模拟结果表明，模型具有捕捉浓度间断的能力。在此基础之上，进一步模拟了水槽中泥沙冲刷和输移过程，模拟结果表明，数值解与实测值吻合程度较好，模型可以较好描述二维悬沙运动。关键词：悬沙输移；间断有限元法；非结构化网格；数值模拟；斜率限制器中图分类号：TV148文

2、献标识码：A文章编号：0468—155X(2014)01-0008-05悬沙输移问题在河口海岸工程界一直受到高度重视，同时，由于在溃坝波、涌潮、波浪变形等间断流动中，泥沙场往往存在间断输移问题，因此发展求解悬沙输移问题的对流扩散方程的高分辨率数值格式一直是很多学者所关注的课题之一¨。目前，比较常用的数值格式包含有限差分(FD)法、连续有限元(FE)法、有限体积(FV)法等。相比于上述方法，间断有限元(DG)法因为其在数值精度、捕捉间断、稳定性、处理复杂地形、网格自适应以及并行计算方面所具有的优势，在对流扩散方程的数值求解中也开始得到应用

3、。Cockburn和Shu采用局部间断有限元(LDG)法求解对流扩散方程。Baumann和Oden4在DG法框架下将Bau．mann—Oden格式应用于对流扩散方程的数值求解。相关工作还可以参阅文献[5，6]。然而，基于DG法的悬沙输移数值模拟工作还比较少见，只有Gourgue采用DG法建立了一个沿水深平均的二维悬沙数值模型，但没有对所建立模型的数值精度等问题进行详细讨论。为此，本文采用DG法构建一个具有二阶精度的非结构化网格二维悬沙数值模型，同时引入斜率限制器抑制高阶数值格式在间断处产生的数值振荡，并通过算例说明模型的合理性。2二维悬

4、沙输移控制方程控制方程采用沿水深平均的二维对流扩散方程+．(hU。)一．(hKVc)：s(1)cgt、式中c为悬沙浓度；V=(dx，导I=lV)；u=(u，u)，lLx和u分别为沿和Y方向的流速；h为总水深；K=[】，和为悬沙水平向扩散系数；s为源项，包含泥沙冲刷通量E和泥沙沉降通量。。收稿日期：2013．03-07基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金项目(20120032130001)；中央级公益性科研院所基本科研业务费专项资金资助项目(TKSIO0206)作者简介：赵张益(1986一)，男，湖南常德人，博士研究生，主要从事海岸河

5、口泥沙研究。E．mail：coastlab@163．com8卜(詈一)(2)D=C(3)式中E。为底床泥沙冲刷率；P为底床泥沙孔隙率；"fb为底部剪切应力；。为临界起动应力；∞为悬沙沉降速度。3数值离散3．1空间离散首先，把计算域Q划分为Ⅳ个三角形单元的集合，n为集合中任一单元，an为单元边界。然后，引入矢量z=Kc，式(1)可以写为a￡+．(hUc—hz)：s(4a)Z：KVC(4b)式(4a)和(4b)分别乘以任葸光滑标量和矢量试验函数和，在任意单兀I上分邵积分，并在计算域Q上求和，得到((hCoa￡一h(Uc—z)。V~)dfl+

6、(Uc—z)d(Ofl))=9sdQ(5a)NN．Jnz‘n(一JnKc·dn+JK。nd(an))(5b)式中n为单元边界的单位外法向量；为流速通量，取单元边界两侧流速值的平均；；与均为悬沙浓度通量，其中；取迎风值c⋯，如图1所示，的求解过程参阅文献[8]。由于需要构造二阶空间精度格式，根据Cockburn和Shu_2的证明，采用线性函数近似式(5)中的变量即可满足精度要求，即cc：∑。‘(6)式中ei为单元节点上的泥沙浓度值；为基函数，采用面积坐标，具体表达式参阅文献[9]；图1悬沙浓度通量；示意图Ⅳ为单元节点数。Fig．1Illu

7、strationofconcentrationflux3．2时间离散对流扩散方程通过上述空间离散，可以得到半离散形式的矩阵方程M+A(u)c+Dc=r(7)式中M为质量矩阵；A(U)为对流项矩阵；D为扩散项矩阵；r为边界及源项。由于显式时间离散对时间步长有严格限制，而隐式时间离散尽管没有上述不足，但其需要耗费大量的时间求解非线性代数方程组。因此，将式(7)中的对流项采用显式离散，而扩散项采用隐式离散，即Ma+A(u)Cn：r。n(8)tM—+Dc川：rⅣn“+rn“(9)△t”式中C。为中间过程值；r、r和rs分别为Dirichlet、

8、Neumann边界项和源项。3．3斜率限制器高阶数值格式通常会在间断或梯度变化剧烈处引起数值振荡，导致格式不稳定。为了确保高阶数值格式的稳定性以及抑制数值振荡，引入斜率限制器(slopelimiter)，其