弧度、向量、三角函数.doc

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1、LTMI专用理科学案【数学】___弧度、三角函数、平面向量__学案【概念】1、弧度：表示角的大小。定义为圆心角所对的弧长与半径的比值。2、三角函数：单位圆上圆心角所对的点的坐标。3、向量：包含大小和方向的量。【应用】1、以后除特别指明，所有角都用弧度表示。2、以后除平面几何证明（选修4-2），否则解题基本不用相似，全用三角函数。【知识点及习题剖析】弧度1、角的概念的推广。由射线OA绕O旋转构成的角称为旋转角（或转角）。其中OA称为角的始边，OB称为角的终边。我们规定，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角。旋转角的大小可以超过一周角（360°）特殊地，当旋转角度为

2、零时（OA与OB重合），我们称该角为零角。由此可以把角的大小推广到实数域R内任意的值。坐标系中，将x轴正方向作为始边，某一射线OB作为终边，则我们称终边OB所在的象限为这个角所在象限，或这个角是第几象限的角。2、旋转角的性质。设ɑ、β为两个旋转角（可以为负角），则有：①先旋转ɑ，再旋转β，则总旋转角θ=ɑ+β。即各角和的旋转量等于各角旋转量的和。②所有终边相同的角构成一个集合（即某角旋转k周角的终边与该角终边相同）例：在0~360°范围内，找出与-950°15′终边相同的角，并判定该角的象限。解：因为，所以该角为129°15′，在第二象限。3、弧度制。把圆周3

3、60等分，1份对应1°的制度称为角度制。在某一圆内，某一圆心角θ所对的弧长L和半径R的比值是一定的，我们定义的值为θ的弧度，记作θrad。13第页LTMI专用理科学案【数学】以弧度表示角的制度称为弧度制。弧度制中，θrad的“rad”习惯上可省略不写。例如我们可记θ=(rad)4、角度、弧度的换算。设θrad=n°，根据弧长公式有：可得下面列出一下常用角的角度和弧度：度(°)030456090120135150180270360弧度(rad)0π/6π/4π/3π/22/3π3/4π5/6ππ3/2π2π例：①把112°30′化成弧度。②把化成角度。解：①11

4、2°30′=112.5°=1.96875②解析：角度不要忘记加单位(°)，否则一概认为是弧度。公式右算左是角度转弧度，左算右是弧度转角度，不要混淆。5、弧度制中的圆计算公式。弧长公式，面积公式三角函数1、三角函数概念的推广。我们称半径为1，圆心在原点的圆为单位圆。对于实数域内的任一旋转角θ，其终边与单位圆上唯一交于点P(x,y)。我们定义：以上六个函数称为任意角的三角函数。由定义可知，sinθ,cosθ的定义域为R，值域为[-1,1]tanθ的定义域为，值域为R。13第页LTMI专用理科学案【数学】练习：根据任意角三角函数的定义推导secθ，cscθ，cotθ

5、的定义域和值域。三角函数在各象限的符号现列如下：例1：已知角α的终边经过P(2,-3)，求α的六个三角函数值。解：解析：当圆半径不为1的时候，将1改为r即可。例2：求tan-672°20′的符号。解：tan-672°20′=tan（-2×360°+47°40′），而47°40′在第一象限，解析：找出角所在象限即得三角函数的符号。2、三角函数线如图，在单位圆中，α的终边为OP，易知PM=，OM=，AT=我们称向量ON为正弦线，向量OM为余弦线，向量AT为正切线。点M、N分别称为点P在x轴、y轴上的正射影（或射影）。OM、ON分别为OP为在x轴、y轴上的正射影。练

6、习：在草稿纸上作出角的三角函数线。13第页LTMI专用理科学案【数学】3、正弦函数。如图，在y轴左侧作单位圆，将其12等分，作出每个角的正弦线。再将x轴在[0,2π]内12等分，即得12等分圆周的角的弧度。将圆内每个角的正弦线投射到对应弧度上，用光滑曲线连接起来，即得正弦曲线（或正弦波）y=sinx由于某角转过若干周角后终边与该角相同，我们得到，sin(x+k×2π）=sinx，k∈Z，即正弦函数中x与x+k×2π，k∈Z的y值相同，如下图：由图，可得正弦函数的性质：①定义域为R，值域为[-1,1]②周期性：sin(x+k×2π）=sinx，k∈Z一般地，对于

7、函数f(x)，如果存在非零常数T，对于定义域内每一个x都满足我们称该函数为周期函数，T称为该函数的一个周期。对于周期函数f(x)，其所有周期中最小的一个正数称为它的最小正周期。我们一般讲到周期，都指最小正周期。正弦函数y=sinx的最小正周期为2π。③奇偶性：易知-sinx=sin(-x)（为什么？），可知正弦函数为奇函数，关于原点对称。④单调性：正弦函数在每一个闭区间上单调递增。在每一个闭区间上单调递减，其中k∈Z。例：求函数的周期。解：①将2x看作自变量，则其有最小正周期2π，即sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π）因此函数y=sin2x的周

8、期为π。13第页LTMI专用理科学案【