函数与方程思想在解题中的应用

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1、高中数学教与学2014焦O学习指导o函数与方程思想在解题中的应用何晓勤(江苏省南京师范大学第二附属高级中学，211900)函数与方程思想作为一种重要的基本数处理．学思想，几乎渗透于高中数学的各大知识板解因为2>0，所以由2(一6／,)<1块之中．在高考试卷中，体现函数与方程思想得一t／,<2一．作出函数，()=一口，g()=的试题所占比重较大，且综合知识多、题型2的图象(如图1)，当>0时，g()=2<多、应用技巧多．函数与方程思想在函数与导1，如果存在>0，使2(一口)<1，即存在数、数列、不等式、解析几何、立体几何等问题>0使’函数

2、，()的图象在函数g()的图象的中有着广泛的应用．下面笔者举例加以说明．下方，所以一口<1，即n>一1，故选D．一、利用函数与方程思想解决不等式问评注解不等式恒成立和不等式有解问题题时，要弄清是对哪个变量恒成立，变量的取函数与方程思想与不等式问题有着深刻值范围是什么．一般来说，给了哪个变量的范的内在联系．在处理有关不等式的恒成立、不围就构造该变量的函数，然后根据函数类型等式有解问题时，我们经常通过构造函数，利去求最值．此外，参变分离也是解决此类问题用函数的图象或性质进行转化，确定相关参的常用方法，若变量分离比较方便，且分离之数的取值范围

3、或最值，解决相应问题．求解线后的函数最值易求，则可避免分类讨论．性规划问题时，常常需要联立边界直线的方二、利用函数与方程解决数列问题程，解方程组得到最优解．数列是定义在正整数集或它的有限子集例1(2013年全国高考题)若存在正数上的函数．因此，任何数列问题都是函数问使2(一口)<1成立，则实数tT／．的取值范围题．如，在研究数列的最大(Jb)项及前n项和是()的最值等问题中，应注意函数思想的渗透，把(A)(一∞，+∞)(B)(一2，+∞)函数概念、图象、性质有机地融人到数列中．(C)(0，+oo)(D)(一1，+∞)此外，方程思想在数列

4、中的应用也很常见，如，在涉及等差、等比数列的运算问题中，常常需32／要根据已知条件，列出关于数列基本量的方1-I／．—、—一．程(组)．一3—2—O123／一2_例2(2013年全国高考题)等差数列—3●{口}的前／7,项和为

5、s，已知S。。：0，S。=25，图1则nS的最小值为——．分析本题为不等式有解问题，且不等分析先根据已知条件求出等差数列的式左边是两个基本初等函数的乘积，直接处基本量a。和d，再将ns表示为1,的三次函数，理不方便，可将不等式两边同时除以2，并构利用函数和导数的知识求其最小值．造两个函数，转化为两个函数图象的关系

6、去解由题意知01+口l0：0，tl,1+。l5=·4·第3期高中数学教与学两式相减得=5d，d=T2'．．的焦半径公式，即可使用点A，B的纵坐标表示．．口。=一3．lAF1．IBFI．再将IAFI·IBFI中的A，B纵·坐标用y0表示出来，最终将IAF1．IBFI表示．．ns=n【n口+d】为)，0的函数，并求出最小值．n一1On。·—■一，解(1)依题意知=竽'c>设，()：，则0，解得c=1．所以抛物线C的方程为=4y．f()=—(3x一20)．(2)由Y=，}2得Y=．设A(Y，)，B(x，Y2)，则切线PA，PB的斜率分别为令，

7、，()：0，解得=，即=时÷，：，所以切PA的方程为Y—Yl：，()取得极小值．取=6和7，求得6)=一48，7)=一49_．．．n．s的最小值为一49．(—。)，即X,1一2y一2y=0．同理可得切评注在利用函数思想解决数列问题线朋的方程为X,2X,一2y一2Y2=0．又点P(xo，时，应注意定义域(即n的取值范围的特殊Yo)在切线和船上，所以l0—2yo一2，，性)，以免发生错误．=0，X2Xo一2yo一2y2=0，所以(I，Y1)，(2，三、利用函数与方程思想解决解析几何Y)为方程‰一2yo一2y=0的两组解，所以问题直线AB的方

8、程为X,OX,一2y一2yo=0．在解析几何中，碰到直线与圆、圆锥曲线(3)由抛物线定义，知IAFl=Y。+1，的位置关系时，常常需要联立方程组消元，而lBFl=Y2+1，所以涉及与解析几何有关的最值问题中，常常需lAF1．1BFl=(YI+1)(Y2+1)要选择合适的变元，构造函数，转化为求函数YlY2+(Yl+y2)+1．的最值问题．例3(2013年广东高考题)已知抛物线联立方程f0一2Y一2Yo=0’消去整理，得Ix‘=4y，C的顶点为原点，其焦点F(0，C)(c>0)到直+(2yo一)Y+y02=0，线z：一，，一2：0的距离为

9、挲．设P为直线z‘Y1+Y2=一2yo，Yly22．．．。1AFI·IBFl=y20+一2yo+1上的点，过点P作抛物线C的两条切线，．．=，，02+(+2)一2yo+1PB，其中A，曰为切点．(1)求抛物