最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案.doc

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1、2-5求通过，，使下列性能泛函为极值的极值曲线：解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数，，，代入欧拉方程，可得，即故其通解为：代入边界条件，，求出，极值曲线为2-6已知状态的初值和终值为，式中自由且>1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线：解：由题可知，，，，欧拉方程：横截条件：，，易得到故其通解为：根据横截条件可得：解以上方程组得：还有一组解(舍去，不符合题意>1)26将，，代入可得.极值轨线为2-7设性能泛函为求在边界条件，自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线。解：由题可知，，，自由欧拉方程：横截条件：，，易得到其通解为：代入边界条件，，，求出，将，，代入可得极值轨线为2－8设

2、泛函端点固定，端点可沿空间曲线移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由26可得，（1）由c=,,（2）将（2）代入（1）式，得：,得证。2-13设系统状态方程，，性能指标如下：要求达到，试求（1）时的最优控制。（2）自由时的最优控制。解：由题可知构造H：正则方程：可求得26控制方程：由上式可得由状态方程，可得（1）时由边界条件，，，可得得故有有最优控制（2）若自由由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件得即，从而，代入可得因为时间总为正值，所以此题无解。3-2设二阶系统的状态方程边界条件试求下列性26能指标的极小值：解：由题可知构造H：由协

3、态方程和极值条件：得代入状态方程得：即，代入初始条件解得：故，此时3-4给定一阶系统方程，控制约束为，试求使下列性能指标：为极小值的最优控制及相应的最优轨线。解：由题可知构造H：哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求极小。且取其约束条件的边界值，即时，使哈密顿函数H达到最小值。所以，最优控制应取26由协态方程可得由横截条件求得，于是有显然，当时，产生切换，其中为切换时间。不难求得，故最优控制为将代入状态方程，得解得代入初始条件，可得，因而，在上式中，令，可求出时的初始条件从而求得。因而，26于是，最优轨线为将求得的和代入式J，得最优性能指标最优解曲线如下：3-5控制系统，试求

4、最优控制,以及最优轨线和,使性能指标为极小值。解：哈密尔顿函数为由协态方程：，解得，由极值条件：，解得，由状态方程有26，解得，代入初始值解得：，故此时…………………………………………………………………………………………………..3－6已知二阶系统方程式中自由。试求使性能指标为极小的最优控制，最优轨线以及最优指标。解：本例为线性定常系统，积分型性能指标，自由，末端固定的最优化问题。构造哈密顿函数为：由极小值条件应取：,由哈密顿函数沿最优轨线的变化律：，可得：，即：，可知：，（其中矛盾），由协态方程有：，由初始条件解得：，由所给状态方程及初始条件解得：26………………………………………………

5、………………………………………………………3-7已知二阶系统方程，，式中控制约束为试确定最优控制。将系统在时刻由转移到空间原点，并使性能指标取最小值，其中自由。解：由题可知构造哈密顿函数：按照最小值原理，最优控制应取由哈密顿函数沿最优轨线的变化规律可得以及因为，可以求出由协态方程解得，26当时(试取)代入初始条件，，可得代入末端条件，可得又，联立解得于是有在时，正好满足要求故最优控制为，相应的最优性能指标为最优轨线为3-17已知系统方程，，性能指标，末端。试用连续极小值原理求最优控制与最优轨迹。解：构造哈密顿函数：，由协态方程：26，解得：，由极值条件：，解得，代入状态方程有：，解得，代入

6、初始值解得：，故最优轨线为：，又，所以最优控制律为：，此时3-28已知系统的状态方程，控制约束为

7、u（t）

8、1。试求最优控制u*（t），使系统由任意初态最快地转移到，的末态。写出开关曲线方程，并绘出开关曲线的图形。解：本例为二次积分模型的最小时间控制问题。容易判定系统可控，因而必为Bang-Bang控制。构造哈密顿函数:由协态方程得：解得：。，知最优控制u(t)最多切换一次，具有四种可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。①若时，代入状态方程考虑到初始状态，解得：，消t得：，26①同理，若时，解得：，由末态配置到，取开关曲线为过（2,1）的那条曲线，即开关曲线方程为：开关

9、曲线图如下：开关曲线3-31设二阶系统：，控制约束

10、u（t）

11、1。试求使系统由已知初态最快地转移到坐标原点的时间最优控制u*（t）和开关曲线。（注：本题书上的是错的，因为按书上的得不到相平面轨迹方程）解：本例为二次积分模型的最小时间控制问题。容易判定系统可控，因而必为Bang-Bang控制。构造哈密顿函数:，知最优控制：，知最优控制u(t)最多切换一次，具有四种可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。①