资源描述：
《解二维抛物型方程初边值问题的交替方向隐式方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第27卷第2期成都理工学院学报Vol.27No.22000年4月JOURNALOFCHENGDUUNIVERSITYOFTECHNOLOGYApr.2000[文章编号]100529539(2000)0220212205X解二维抛物型方程初边值问题的交替方向隐式方法1111112周维奎李华卢玉蓉张培德冯思臣何永富周洁(1.成都理工学院应用数学系,成都610059;2.四川科技职工大学)[摘要]详细地研究了各种情形的求解二维抛物型方程初边值问题的交替方向隐式差分法。这种方法可以将二维隐式方法归结为求解三对角线性方程组。与一维情况类似,可以继续利用追赶法求解。它具有运算速度快,存储
2、量小,无条件稳定等优点。该方法是求解二维抛物型方程的有效方法,必将得到更广泛的应用。[关键词]ADI格式,过渡层,三对角矩阵,追赶法[分类号]O241.82[文献标识码]A求解二维抛物型方程初边值问题的交替方向隐式方法(Alternatingdirectionimplicitmethod,简称ADI法)是求解二维抛物型方程很有效的一种分数步长法。我们知道将求解一维抛物型方程的有限差分法推广到二维情形,在构造相应的差分格式时,一般都不会遇到太多新的困难。但是,在求解方法上与一维情形相比却增加了很大的难度。使用隐格式或Crank2Nicolson格式求解,其对应线性方程组的系数矩
3、阵不再是三对角矩阵,不能使用追赶法求解,因而对二维或高维情形隐式差分格式并不比显式差分格式优越。本文详细研究的ADI法,是一种能够化为三对角线性方程组,从而可以继续使用追赶法求解,具有计算速度快、存储量小、无条件稳定和应用范围广的有限差分方法。1不等距网格剖分研究模型问题5u=¨(a¨u),(00)(1)5tu(x,y,0)=U(x,y)(2)u(0,y,t)=u(l,y,t)=u(x,0,t)=u(x,l,t)=0(3)其中a=a(x,y)≥D>0和U(x,y)是平面有界区域G={(x,y)û0≤x≤l,0≤y≤l}上给定的光滑函数,而55u55u¨(a¨
4、u)≡a+a5x5x5y5y首先对二维空间区域G进行不等距网格剖分,用$xi=xi-xi-1表示沿x方向第i个单元的步长,$yj=yj-yj-1表示沿y方向第j个子区间步长,$t为t方向的步长。根据数值微分公式,我们有k+1k5uui,j-ui,j≈(4)5t$t55u5u5u$xi+$xi+1a≈a-aö5x5x(i,j)5xi+1ö2,j5xi-1ö2,j22ui+1,j-ui,jui-1,j-ui,j≈ai+1ö2,j+ai-1ö2,j(5)$xi+$xi+1$xi+1$xi类似地,有55u2ui,j+1-ui,jui,j-1-ui,ja≈ai,j+1ö2+ai,j-1
5、ö2(6)5y5y(i,j)$yj+$yj+1$yj+1$yjX[收稿日期]2000201211[作者简介]周维奎(1968-),男,硕士生,应用数学专业.第2期周维奎等:解二维抛物型方程初边值问题的交替方向隐式方法·213·将(4),(5)和(6)式代入方程(1),直接得到下列差分方程2ai-1ö2,j2ai+1ö2,j(ui-1,j-ui,j)+(ui+1,j-ui,j)+$xi($xi+$xi+1)$xi+1($xi+$xi+1)k+1k2ai,j-1ö22ai,j+1ö2ui,j-ui,j(ui,j-1-ui,j)+(ui,j+1-ui,j)=(7)$yj($yj+$
6、yj+1)$yj+1($yj+$yj+1)$t这是抛物型方程(1)不等距网格剖分的基本差分方程。现引入记号2ai-1ö2,jAij=$xi($xi+$xi+1)2ai+1ö2,jBij=$xi+1($xi+$xi+1)(8)2ai,j-1ö2Cij=$yj($yj+$yj+1)2ai,j+1ö2Dij=$yj+1($yj+$yj+1)则(7)式可写为k+1kui,j-ui,jAij(ui-1,j-ui,j)+Bij(ui+1,j-ui,j)+Cij(ui,j-1-ui,j)+Dij(ui,j+1-ui,j)=(9)$t现将(9)式中由第k层到第k+1层分成两步计算,在第k层到
7、第k+1层中间引进一个过渡层(第k+55u55u1ö2层),从k层到k+1ö2,对(a)使用隐式,对(a)使用显式,得到5x5x5y5yk+1ö2kui,j-ui,jk+1ö2k+1ö2k+1ö2k+1ö2kkkk=Aij(ui-1,j-ui,j)+Bij(ui+1,j-ui,j)+Cij(ui,j-1-ui,j)+Dij(ui,j+1-ui,j)$tö2(10)kk+1ö2式中ui,j为k层已知值,ui,j是过渡层(第k+1ö2层)待求的值。求出第k+1ö2层之值后,从k+1ö2层到第55u55uk+
