归纳逻辑与代数系统初步

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1、归纳逻辑与代数系统初步英文姓名：Logan.Lau中文姓名：刘冠单位：学生邮编：516000地址：惠州学院数学系电话：13790753620一.引言我们知道，在十九世纪伽罗华理论彻底解决了高次方程的可解性问题，但由于高次方程解结构的复杂性，以至于高次方程的代数解没有多大的实际作用，而且亦缺乏数学美感。群论诞生的最大价值不在于解高次方程，而在于扭转了代数学的研究方向从而使代数学转入了对代数结构的研究。纵贯代数学乃至整个数学发展史可知，高次方程的可解性问题，在十九世纪以前一直是代数学核心内容，其时间跨度也接近1000年。在欧洲文艺复兴之前，由于亚里士多德的

2、逻辑体系和欧几里得《几何原本》的演绎体系对人们思维方式根深蒂固的影响，以至于三次方程长期的不到解决。正值欧洲文艺复兴之时，意大利数学家卡丹解决了三次方程，但其推理方式并不是演绎推理，而是通过解大量特殊的三次方程归纳出三次方程的一般解。但这一步已经是很大的飞跃，以至于用同样的推理方式很快地归纳出四次方程的一般根式解。但自四次方程被解决后，五次方程的根式解一直得不到解决，这时人们意识到五次方程的不可解性，其原因是现有“运算法则”不够用了，必须得对“运算法则”进行分类，对这方面贡献最大数学家就是阿贝尔和伽罗华。伽罗华认为要解五次方程，现有的数学运算不够用，必

3、须的引进有别于""""""""""的运算法则，伽罗华的天才创举使代数学进入崭新的领域。纵观数学史，高次方程可解性问题虽然催生了群论，但深入了解发现伽罗华的天才发现并不是无规可循。伽罗华概括了高斯，欧拉的见解，特别是继承了拉格朗日预解式思想，从而发明了全新的数学工具——群论，在其发现过程群论起着最关键的就是归纳逻辑这个推理方式不断升华的过程。归纳逻辑（具有不完备性）已成为现代逻辑学中极为重要的推理方式，特别是上世纪哥德尔不完备定理的问世极大地震撼了数学界乃至整个科学界，数理逻辑对现代科学的研究方式产生了巨大的影响，包括勒贝格的《测度论》和非欧几何

4、及其催生的爱因斯坦的《相对论》等一系列以归纳为核心的逻辑体系。居于科学上这么多的重要性，很有必要深刻了解一下归纳逻辑。二．归纳逻辑的分类归纳逻辑按其发展的不同阶段,又可以分为古典的归纳逻辑和现代的归纳逻辑两大类型，在这里我们只简要介绍古典类型。枚举归纳法从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的所有分子都具有该性质的逻辑方法，就叫枚举归纳法。它的模式是：S1是PS2是P…Si是P（S1,S2,…Si都是S类中的全部分子）所有S是P枚举归纳法只依靠所枚举的事例的数量，因此，它所得到的结论的可靠程度较低，一旦遇到一个反例，结论就会被推翻。但是，枚

5、举归纳法仍有一定的作用，通过枚举归纳法得到的结论可作为进一步研究的假说。消去归纳法F.培根所提出的“三表法”和“排斥法”相结合的归纳法，以及密尔提出的求因果联系的契合法、差异法（见密尔求因果五法），都是消去归纳法。它们的共同特征是：根据所研究的对象有选择地安排事例或实验,然后通过比较消去某些假说,得到比较可靠的结论。以下所说的两种消去归纳法是用条件句的术语对密尔方法的改进。假说方法假说方法根据一组证据提出一个或一些假说，然后从某一特定的假说演绎出一些结论，这可以写成蕴涵式："A→B"，接着检验这些结论。如果检验的结果是：塡B，根据否定式推理：就要否定这

6、个假说。如果检验的结果是B真,就暂时接受这个假说。这里应用的是以下形式的归纳推理：接受或排除一个假说的过程是很复杂的，往往不能一次完成。有时，一个假说可以解释一些现象，但不能解释另一些现象，在这样的情况下，就不能简单地肯定或否定这个假说。一般说来,在两个或两个以上的假说中,能解释的现象数量较大或最大的假说与不能解释的现象数量之差较大或最大的假说,是可以暂时接受的,它们具有较高程度的可靠性。应用假说方法的过程是一个不断地提出、检验、修改、排除或确定假说过程，在这个过程中，需要应用归纳，也需要应用演绎。例如，科学史上关于光的本性的两个著名假说“微粒说”和“

7、波动说”，它们都各自能解释一些光的现象，但又不能完全解释另一些光的现象，只具有一定程度的真实性，后来终于被“波粒二象说”（见波－粒二象性）所取代。注1：要了解更详细的归纳逻辑的分类可翻阅王浩《数理逻辑》。三.集合论基本知识为了了解归纳逻辑的运用，需要下面一些基本的集合论知识：1.对等，基数，可数集的概念。1设A,B两个非空集合，如果存在A到B的一一映照φ，则称A和B对等，记为A~B。2凡和全体自然数所成集合N对等的集合称为可数集合。3基数的概念可以看作有限集合中所含元素个数的推广，要对基数下一个精确地定义是一件相当复杂的事情。2.定理

8、1可数集合的任何无限子集必为可数集合，从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集。2