刘徽九章算术注与祖冲之计算圆周率之谜.pptx

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1、刘徽《九章算术》注与祖冲之计算圆周率之谜2018年1月南京ZOU简介背景绿色内容，引自于《九章算术》（包括刘徽为之写的注文）。阿基米德最早采用圆内接正多边形和圆外切正多边形，双向逼近圆的周长。刘徽采用圆内接正多形面积及其加一个矩形的面积，双向逼近圆的面积。两个方案都比较直观，理论上也没有疑问。如何精确计算圆周率，实质看其具体的计算方法。几何法计算圆周率，都绕不过开方运算。如何精确可靠地计算开方值，是祖冲之计算圆周率的关键。如果按《九章算术》刘徽注文的思路去尝试，祖冲之1到2天就能可靠地筹算出8位圆周率，计算量及复杂程度远低于大家的预期！假令圆径

2、二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而弧周率三也。又按：为图，以六觚之一面乘一弧之半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。。刘徽割圆术（一）刘徽从圆内接正六边形开始，不断割圆，他在《九章算术》的圆田术中，对割圆术所写的注文如下：刘徽割圆术（二）刘徽割圆术（三）ABCDO勾股弦小勾小股割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五

3、寸，开方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。弦OB=1，勾DB=0.5，股幂OD=1–DB=1–0.25=0.7522股OD=√1–DB=0.8660254（五分忽之二）小勾DC=1–OD=0.1339746（五分忽之三）小弦幂AC=DC+DB=0.2679491934452222已知圆内接正6边形的边长为

4、1，求出圆内接正12边形边长的平方，有两步复杂的运算：一次开方和一次平方。小弦刘徽割圆术（四）ABCDO勾股弦小勾小股割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之，即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分弃之。弦OB=1，勾幂DB=0.267949193445/4=0.066987298

5、3612小勾DC=1–OD=0.0340742（五分忽之一）小弦幂AC=DC+DB=0.068148349466222股OD=√1–DB=0.9659258（五分忽之四）2已知圆内接正12边形边长的平方，求出圆内接正24边形边长的平方，有两步复杂的运算：一次开方和一次平方。其他以此类推。。。小弦刘徽割圆术（五）刘徽计算圆内接正多边形的边长，小结如下：假设圆内接正n边形的边长为Xn，已知X6=1，通过勾股定理可以计算出X12、X24、X48……222每次割圆，复杂的运算主要是一次开方和一次平方刘徽割圆术（六）...开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽

6、，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也...忽略单位换算，圆内接正48边形边长X48=13.0806圆内接正96边形面积S96=X48*24=13.0806*24=313.9344=313+584/625...开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也

7、。忽略单位换算，圆内接正96边形边长X96=6.5438圆内接正192边形面积S192=X96*48=6.5438*48=314.1024=314+64/625以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。差幂=S192-S96=105/625，凡幂=2*105/625=210/625S96+凡幂=314+169/625，比圆的面积略大故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而

8、弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之，得六尺二寸八分，即周数。…还是取S192≈314，计算出圆周为6.28，圆周率为3.14。S192比圆的面积略小。刘