浅谈刘徽《九章算术注》中数学思想的体现

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1、数学史课程论文♦论文题目♦学院名称♦专业班级♦学生姓名浅谈刘徽《九章算术注》中数学思想的体现:学与统计学院2014级数应二班傅美芳♦学号:♦授课教师:20140655011245赵博浅谈刘徽《九章算术注》中数学思想的体现傅美芳（长江师范学院数学与统计学院2014级数应2班重庆408100）摘要：刘徽是巾国传统数学理论体系的奠基人，他的主要数学思想表述在他的《九章算术》注文中，可以说，刘徽的《九章算术注》奠定了中国古代数学的理论基础，在一定程度上，把《九章算术》这样一部实用型数学著作变成了具有实用性质的

2、数学理论体系，事实上，刘徽的《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法作出了杰出的贡献，对中国古代数学思想的发展起了关键性的集成促进作用。关键词：刘徽：《九章算术注》；数学思想：认识体会刘徽，是中国古代最卓越的数学家之一，在世界数学史上占有杰出的地位，从对历史的追本溯源屮我们大概了解到刘徽是魏晋时人。刘徽在数学上的建树颇丰，儿乎涉及屮国古代数学的各个方面，他的数学杰作之一《九章算术注》，是中国传统数学思想发展的主要脉络，刘徽在《九章算术注》中，不仅用文词分析《九章》中的数学理论，还用圆形剖析《九章》

3、中的数学结构，从而在数学理论、数学算法上有诸多创新，对于后世有及其深远的影响。刘徽可以说是中国古代系统研宂数学思想方法的第一人，尤其是体现在《九章算术注》中的丰富的数学思想。一、无穷小分割极限思想和“化曲为直”我国在先秦吋期，就产生了关于极限观念的片段认识，刘徽对我国古代极限观念的片段进行了理论上的整理，第一个从数学的角度上阐述了极限观念，使极限思想和极限方法成力数学研究的重要思想方法。从“割圆术”看极限思想：刘徽在《九章算术》方田章“圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周LC面积以及圆周率的基础。他

4、在注文中写道：“又按：为图，以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十叫輒之幂。割之弥细,所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣。”m即：若用A表示半径为K的圆内接正/边形边长，（?;为周长，5;为而积，S为圆而积。则刘徽从圆内接正六边形开始，逐次割圆的过程为割圆为十二觚之幕S12=—x/?=3（cz6x/?）=（3tz6）x/?割圆为二十四觚之幂524=£lx/?=6（tz12x/?）=（6tz12）/?割圆为6•2"觚之幂.2

5、,，=

6、•C62,…x尺=6•2"—2•x/?）=（6•2”—2•对这样的割圆过程，注文中刘明确指出：“割之弥细，所失弥少。”即分点数越多，则圆与正多边形面积之差就越小。“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”所说的是割的过程可以不断进行下去，直至最后达到与圆周合为一体。在“割圆术”中，当分割的次数无限地增加，则存在圆内接正多边形的极限，此极限就是圆面积。在整个过程中，刘徽是将圆看成边数力无限的正多边形，这些正多边形的边因为边数的无限扩大逐渐可以看成力点,此时边长是个接近零的无穷小量，最后

7、对整个圆求积过程就类似于微积分中的面积元素法［3］，无限小的直线替代无限小的曲线，其面积作为面积元，求其和相当于把所有的面积元加起來也即求这些而积元的积分，而求积分用的正是我们现在所认识的微积分屮的极限思想。刘徽的极限思想在我们如今学习微积分的极限时有很大帮助，在如今的微积分教学中，仍有很多老师在进行积分时引导学生从分割为面积元入手，除了极限的思想外，刘徽在整个过程巾所用到的“化曲为直”的思想方法，即把圆的边长化作无限正多边形的边长，“化曲为直”详细地说也是一种极限的数学思想。在如今的对曲线积分求积时

8、，这在很大程度上给予我们后世学习积分和极限提供了有效的方法。除了在上述问题中有极限思想的体现外，在“弧田术”的注文中［4］,刘徽同样运用极限思想和方法推导弓形的面积，给出了用内接正多边形面积无限逼近弓形面积的计算方法。另外，刘徽还在“开方术”上同样也使用了极限的思想和方法。二、图形证明思想在几何方而，刘徽有着别具一格的证明方法。刘徽在《九章算术注》中对几何证明题采用逻辑和图形分析相结合的思想方法，即图形证明思想，尤其是对图形的分割、填补、转移、合并等。在《九章算术注》中的“勾股术”中有：“勾自乘为朱方

9、，股自乘为青方，今出入相补，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”［1这是刘徽给出的勾股定理的证明，在证明过程中，他采用图形证明法，如图［2将I、u、in分别移至r、mh’便证得了勾股定理，在这个过程屮他采用对图形的出入相补来得到不同图形之间的联系。他在证明勾股定理的一些公式吋，靠的是图形之间的转移填补得到结论，把几何问题转化为构图问题。通过图形证明刘徽得到一个图形证明最基本的证明原理即出入相补原理，在方田章的图形面积计算的证