2013高考数学 解题方法攻略 求异思维 理.doc

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1、第二轮讲练思维方法·求异思维 所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式．求异思维又叫发散思维，它具有不落俗套、标新立异、不拘一格的特点．因此，用求异思维解题有利于培养思维的多向性、灵活性和独特性．在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面．(一)变换思维方向解证解析几何习题，常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面，甚至会到“山穷水尽疑无路”的地步．这时，若能变换思维角度，多方位思考，多渠道辟径，就会超过思维障碍，呈现“柳暗花明又一村”的美景．例1 已知点

2、A(1，-1)、B(7，2)，以A为圆心、8为半径作⊙A，以B为圆心，6为半径作⊙B，求这两个圆外公切线交点P的坐标．【分析】 如图1－4．解本题的自然思路是，先求出两条外公切线的方程，再解方程求出交点坐标．但这种解法是入手容易出手难，由于运算量过大，使思维陷入困境．如果能换一个角度思考，联想到公切径之比)，那么便可用线段定比分点公式，使问题获得巧解．【解】 如图1－4，设M、N是一条外公切线与两个圆的切点，连结AB、BP，则A、B、P三点共线，再连结AM、BN，则AM⊥MP、BN⊥MP．∴ B

3、N∥AM．-18-设点P的坐标为(x，y)，则由线段定比分点公式，得故点P的坐标为(25，11)．例2 如图1－5，直线y=kx＋b与圆x2+y2=1交于B、C两点，与双曲线x2-y2=1交于A、D两点，若B、C恰好是线段AD的三等分点，求k与b的值．【分析】 如图1－5，解本题的自然思路是，由

4、AB

5、=

6、BC

7、=

8、CD

9、入手，先计算出

10、AB

11、、

12、BC

13、、

14、CD

15、(即用k、b表示)，然后解方程组求得k、b的值．但由于线段AB、CD的端点不在同一曲线上，从而上述解法运算相当麻烦．如果变换思考角度，

16、由

17、AB

18、=

19、CD

20、出发，可得线段BC与AD的中点重合，进而可用韦达定理，列出k、b的一个关系式，再【解】 如图1－5，把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得(1+k2)x2+2bkx+b2-1=0                                                              ①从而 由韦达定理，得-18-把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0                           

21、                              ②∵ 

22、AB

23、=

24、CD

25、，∴ AD与BC的中点重点．解之，得k=0或b=0．当k=0时，方程①化为x2=1-b2，-18-(二)一题多解在解析几何中，进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式．例3 已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．(1994年全国高考理科试题)【分析1】 设直线l的方程为y=kx，抛物线C的方程为y

26、2=2px(p＞0)，先求出A、B关于l对称的点A′、B′的坐标(用k表示)，再代入抛物线C的方程中，可得k、p的方程组，最后解方程组即可．【解法1】 如图1－6．由已知可设抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)．由于直线l不与两坐标轴重合，故可设l的方程为y＝kx(k≠0)．                                                            ①设A′、B′分别是A、B关于l的对称点，则由A′A⊥l可得直线AA′的方程为将①、②联立，解得线段A

27、A′的中点M的坐标为-18-分别把A′、B′的坐标代入抛物线C的方程中，得由③÷④，消去p，整理，得k2-k-1=0．                                                                      ⑤又由④知k＞0．                                                                                       ⑥【分析2】 如图1－7，设直线l的倾斜角为α，则

28、l的斜率为-18-用α的三角函数表示点A′、B′的坐标，再把这些坐标用k表示，以下同解法1．l的斜率为k．∵ 

29、OA′

30、=

31、OA

32、=1，

33、OB′

34、=

35、OB

36、=8，∠xOA′=-(π-2α)，∴ 由三角函数的定义，得A′的坐标为xA=

37、OA′

38、cos∠xOA′=-cos2α，yA=

39、OA′

40、sin∠xOA′=-sin2α-18-以下同解法1，从略．又

41、OB′

42、=8，

43、OA′

44、=1，从而此题可设极坐标方程去解．【解法3】 如图1－7，以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，把x=ρcosθ代入方程y2=