研究生《泛函分析》课程教学探讨

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1、E。ucAT．。NF。RuM教育论坛f．．29研究生《泛函分析》课程教学探讨谢永安黄文韬(桂林电子科技大学数学与计算科学学院桂林541004)摘要：通过多年从事研究生教学的经验，给出了数学类专业研究生课程教学的一些体会，强调该课程教学中应注重与其他相关课程的衔接性，提高学生对课程的整体把握能力，注重数学思想的讲解和提高学生的解决问题的能力。关键词：研究生；泛函分析；教学《泛函分析》是研究无穷维线性空间中的泛函和算子理论的在一个线性子空间上的线性泛函能够延拓到全空间上，即无限维-V]分析数学，在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力空间上有足够多的线性连续泛函可供研究，因而成为线性泛函分

2、学、量子物理学以及工程技术等学科领域有着广泛的应用，并已经析的一块基石。由Hahn—Banach定理出发，推出应用十分广泛的渗透到数学内部的各个分支中，起着重要的作用。因其在近代科学存在定理“设A是赋范空间的闭子空间，Xo∈＼A，则存中的重要性，泛函分析被当今科学界喻为“20世纪的微积分”。在v∈A，使得I=1，V(Xo)=d(xo，A)。特别，取A{Uj，得作为数学专业研究生的一门基础课，《泛函分析》的教学历来为各学校所重视。但因其独特思维方式和内容的深广性使得学生出：若0≠Xo∈X，则存在v∈X，使得=1，V(Xo)=IxolI”。普遍感到学习困难、抽象难懂。特别是近几年来，随着研究生

3、招生继而串起在凸分析、最优化理论等数学分支中有着重要应用的分规模的不断扩大，入学学生的实际基础水平差异加大，加之学时少离定理。三是Hilbert空间和表示定理。串起极化恒等式、Parseval而内容多，《泛函分析》的教学更是困难重重。笔者从事《泛函分等式、标准正交基、投影算子和自反性等概念，以及一些重要的析》的教学多年，为使学生能更好地掌握本课程，对教学方法和教Banach空间上的表示定理和Riesz表示定理等。学内容的改革进行了多方面的探索，取得了较好的教学效果。通过这些归纳总结，学生对泛函分析的全貌就有了一个大致的了解。以此三条主线为基础，我们要求学生将书本上的概念和一、要注意好与数学

4、分析、实变函数论课程的衔接定理依逻辑关系联结起来，进行更细致的研究，形成一棵枝繁叶有别于古典分析，泛函分析的一大特点是把古典分析的基本概茂、果实累累的“大树”，进一步深化了学生对课程内容的理解念和方法抽象化、几何化。比如．不同类型的函数可以看作是“函和整体把握。数空间”的点或向量，而对“函数空间”等概念做进一步的推广最三、突出数学思想。讲深讲透重要定理和结论后得到了“抽象空间”这个一般化的概念。如果说函数是数集与数集之间的对应关系，那么泛函则是函数集与数集之间的对应关由于教学时间的减少和研究生实际基础水平的参差不齐，许系，而算子则是函数集与函数集之间的对应关系。因此，作为泛多数学专业研究生

5、教材有“快餐化”的倾向。主要表现为在内容函分析的基础和前导课程数学分析、实变函数的教学对学习泛函的选取上避重就轻，对于一些证明篇幅长学生理解困难的定理往分析是十分重要的。往是蜻蜒点水式的讲解甚至略过。这种做法对学生数学思维能力《数学分析》中的极限、有界、连续、开集、闭集、邻域和创新能力的培养是极为不利的。若只泛泛地讲数学思想而不讲都是泛函分析学科的基本概念；而《实变函数》中的Levi定理，数学证明，学生将不能真正理解现代数学中深刻的数学思想和方Fatou定理，Lebesgue控制收敛定理和有界变差函数、勒贝格法。“泛函分析中的共鸣定理、开映射定理和延拓定理等，这些数、开映射等定理和概念在泛

6、函分析的理论体系展开过程中起着定理的证明长而难，在以往的教学中历来难于过关，如果因难教重要的作用。比如，在数学分析中，我们有Cauchy收敛原理：难学和学时减少而删去这些定理的证明就等于丢掉了本课程的精“Cauchy列必收敛”。但这一论断在抽象空间中并不成立，造成华部分j。”事实上，一些定理的“规模宏大”的证明中往往孕这一现象的原因在于这些抽象空间中的点“不够多”，存在许多涵着泛函分析的一些常用的分析方法和处理技巧。的“砂眼”，由此引出了“Banach空间”的概念i又如在数学下面我们以重要定理：“[口，6](1P<+∞)的共轭分析中，我们有Bolzano—Weierstrass定理：“有界

7、数列必存在收空间是，6】(+q=1)”的证明来作说明。我们分敛子列”，而这一定理在无限维德抽象空间中也不成立，从此可三步完成证明：首先研究在[a，b]上的全体阶梯函数所组成的导出“紧集”的概念。类似地，由“开覆盖”的概念引导出“全Zp[a，b】的稠密子集s上，定义于[，b】上的泛函／。的表达有界集”。最后，我们能在抽象空间的一般框架内实现有限覆盖式，经过这一步，我们得到了定理结论中所期望出现的表达式定理、闭集套定理与聚点