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1、两种群相互竞争模型如下：其中x(t),y(t)分别为甲乙两种群的数量，，为它们的固有增长率，，为它们的最大容量。的含义是，对于供养甲的资源来说，单位数量的乙（相对）的消耗为单位数量甲（相对）消耗的倍，对可以作相应解释。经过计算，该模型无解析解，故用数值方法研究，为此提出以下问题：（1）设r1=r2=1,n1=n2=100,s1=0.5,s2=2,初值x0=y0=10,计算x(t),y(t),画出它们的图形及图（x,y），说明时间t充分大了以后x(t),y(t)的变化趋势。（2）改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,但s
2、1,s2不变（或保持s1<1,s2>1），计算并分析所得结果，若s1=1.5(>1),s2=0.7(<1),再分析结果。由此可以得到什么结论，请作出解释。（3）试验当s1=0.8,s2=0.7时会有什么结果，当s1=1.5,s2=1.7时，又会有什么结果。模型求解：程序如下：fun.m:functiondx=fun(t,x,r1,r2,n1,n2,s1,s2)dx=[r1*x(1)*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2);r2*x(2)*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)];p3.m:h=0.1;%所取时
3、间点间隔ts=[0:h:30];%时间区间x0=[10,10];%初始条件opt=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);%相对误差1e-6，绝对误差1e-9[t,x]=ode45(@fun,ts,x0,opt,1,1,100,100,0.5,2);%使用5级4阶龙格—库塔公式计算%后面的参数传给fun,分别是r1,r2,n1,n2,s1,s2[t,x]%输出t,x(t),y(t)plot(t,x,'.-'),grid%输出x1(t),x2(t)的图形gtext('x1(t)'),gtex
4、t('x2(t)'),pauseplot(x(:,1),x(:,2),'.-'),grid,%作相轨线gtext('x1'),gtext('x2');运行结果[t,x]为：ans=010.000010.00000.100010.880510.71200.200011.823511.44540.300012.830912.19620.400013.904412.95950.500015.045313.7295……29.4000100.00000.000029.5000100.00000.000029.6000100.000
5、00.000029.7000100.00000.000029.8000100.00000.000029.9000100.00000.000030.0000100.00000.0000最后数值稳定在x=100,y=0上，即物种甲达到最大值，物种乙灭绝。x(t),y(t)图形x(y)的图形：从第一张图可以看到，物种乙开始一段时间数量稍稍有所增长，10年后就渐渐灭绝了，最后稳定状态就只剩下甲物种。改变参数进一步讨论：下面在保持s1,s2不变的基础上，分别改变r1,r2；n1,n2；x0,y0观察变化趋势：(1)改变r1,r2:
6、r1=r2=0.3我们可以看到甲乙两物种最终结果仍然是甲达到数量极限而乙灭绝，但与原先不同的是变化速度减缓了，这是由于自然增长率r1,r2变小的缘故（相当于变化率减小）。(2)改变n1,n2:n1=10000,n2=100:由于一开始甲物种的数量相对较少（x/n1），所以乙物种得以快速增长，数量一度达到90以上，但最终仍然灭绝。物种容量的改变并不能影响最终谁会灭绝。下面的情况证明了这一点：(3)改变x0,y0:x0=10,y0=100:乙物种的初始数量大使其灭绝时间稍稍延后，但它灭绝的趋势不变。综上，无论怎样改变r1,r
7、2,n1,n2,x0,y0，都改变不了最后甲物种存活并达到数量最大且乙物种灭绝的结果。下面再改变s1,s2观察变化趋势：(1)s1>1,s2<1s1=1.5,s2=0.7结果正和s1=0.5,s2=2时相反，最后甲物种灭绝，乙物种存活并达到数量极限。如果这时改变r1,r2,n1,n2,x0,y0这些参数，变化趋势和上面列举的相同（甲乙相反），这从方程的对称性上可以求证。现在得出结论，由s1,s2的物理意义，当某个s1或者s2大于1时（另一个小于1），它将严重消耗其作用的物种的生存资源，最终的结果是致使此物种灭绝。(2)s
8、1<1,s2<1s1=0.8,s2=0.7最后稳定在x=45.4546y=68.1818上。两物种共存。(1)s1>1,s2>1s1=1.5,s2=1.7可见虽然s1,s2都大于1，但由于s2更大，更严重消耗了乙物种的生存资源，使乙物种在竞争中灭绝。综上所述，s1,s2小于1时消耗生存资源的严重程度较轻，所以甲乙物种
