《李群与李代数》讲义-李世雄编著.pdf

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1、Lie群与Lie代数简介安徽大学数学系李世雄20019Lie群与Lie代数-1-一引言Lie群和Lie代数的理论是近代数学中的一个重要分支是挪威数学家M.S.Lie1842-1899在十九世纪后期创建的由于受LagrangeAbelGalois等学者用群论方法研究代数方程求解问题得到巨大成功的启发Lie提出了用变换群的方法来研究微分方程的求解问题及用无穷小变换来研究变换群的方法近代的Lie群与Lie代数理论就是在Lie的开创性工作的基础上发展起来的群变换群的概念起源于对几何图像对称性的研究虽然历史悠久但未成为一种解决问题的系统方法这一情况到了十八世纪后期才发生了本质的变化法国数学家J.Lagr

2、ange(1736-1813)在研究代数方程求解问题时认识到根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在开创了用置换群的理论来研究代数方程求解问题的新阶段在此基础上挪威数学家N.H.Abel(1802-1829)与法国数学家E.Galois(1811-1832)发展和应用了群论的方法彻底解决了代数方程用代数方法求解问题关于这方面的进一步介绍有兴趣的学者可以参看附录1用根的置换理论解二三次代数方程与代数方程有关的置换群是有限群即由有限个元素构成的群对这种群的研究纯属代数问题而Lie引进的与微分方程有关的变换群则是由有限个连续参数所确定的变换所构成的无限群这种确定群的元素的连续变化的参数可以看成广义的

3、坐标所以Lie研究的变换群除了群的结构外还具有流形的结构其元素可以看成是流形上的点关于流形的概念可参看李世雄.波动方程的高频近似与辛几何.第四章因而Lie群是代数几何与分析的有机结合其理论和方法对近代数学的许多分支有重要的影响和作用Lie群与Lie代数-2-二Lie群的概念群的定义设G是一个集合若满足下列4个条件则称G为一个群Group1G中有一种对应规则通称为乘法对G中任意二元素ghG,∈对应G中的一元素k称为g与h之乘积记为kgh=D(或gh)此性质称为群的乘法的封闭性2乘法满足结合律对G中任意三元素ghk,,满足()ghk=ghk()3G中存在一个幺元e使对G中任意元素g均有ge==eg

4、g−1−−114G中每一元素g均存在一逆元g使gg==gge群的乘法一般不满足交换律若一群G的任意两个元素的乘法均可交换gh=hg∀∈ghG,则称G为可交换群或Abel群子群设G为一群H为G的一个子集()HG⊆若H也是一个群按照G中的规定的乘法则称H是G的子群例1全体实数<或复数-对加法构成一Abel群此时群的乘法就是普通的加法设E表示有理数全体则E是<的子群设V表示全体偶数则V是E的子群当然也是<的子群问题无理数全体或奇数全体是否<的子群例2全体实数除去零<或全体复数除去0-对乘法构成一Abel群这时群00的乘法就是普通的乘法问题全体实数<或全体复数-对普通的乘法运算不构成群这是为什么例3G

5、i=−−{1,1,,i}对复数乘法运算构成一有限Abel群这里1是G的幺元-1的逆元就是-1i与-i互为逆元例4行列式不为零的n阶实矩阵全体对矩阵乘法构成一群n阶全线性群记为GL(n,R)2它的元素由n个独立实参数所确定按照下面将要给出的定义可见Lie群与Lie代数-3-GL(n,R)2是一个n维不可交换Lie群例5行列式为1的2阶实矩阵全体对矩阵乘法构成一群二阶实特殊线性群SL2abR因为二阶实矩阵由四个实数abcd,,,构成由于行列式为1的要求cd使他们必须满足条件ad−=bc1所以SL(2,)R中的元素由3个独立的实参数所确定按照下面将要给出的定义可见SL(2,)R是一个三维

6、不可交换Lie群而且它是GL(2,)R的子群例6行列式为1的n阶实矩阵全体对称矩阵乘法构成一群n阶特殊线性群2SLnR(,)这是一个n−1维不可交换的Lie群而且是GLnR(,)的子群例7行列式不为0的n阶复矩阵全体对矩阵乘法构成一群n阶复全线性群GLnC(,)行列式为1的n阶复矩阵全体对矩阵乘法构成一群n阶复特殊线性群22SLnC(,)GLnC(,)是2n阶不可交换Lie群SLnC(,)是22n−阶不可交换Lie群显然GLnR(,)与SLnC(,)都是GLnC(,)的子群SLnR(,)是SLnC(,)的子群上面我们所举的群的例子除例1外其元素均为矩阵实数或复数可看成是一阶矩阵运算法则均为矩阵

7、乘法这种群称为线性群线性群是最重要的也是最有代表性的一类Lie群今后在应用中遇到的Lie群基本均为线性群可以说掌握了线性群也就基本上掌握了Lie群下面我们来给出Lie群的定义Lie群的定义设G是一个r维流形同时G又是一个群其幺元记为e因e又是流形G中的一点所以可取定一个包含e的局部坐标邻域U在U中取定坐标系{,}Uϕ设取e为坐标原点ϕ=()(0,0,,0)e"(2.1)对U中的三元素ghk,,设其