2011考研数学中的4大物理应用--功、引力、压力、质心.pdf

《2011考研数学中的4大物理应用--功、引力、压力、质心.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2011智轩考研数学专题讲座之考研数学中的4大物理应用--功、引力、压力、质心2011考研数学中的4大物理应用--功、引力、压力、质心智轩考研数学培训中心物理应用=几何应用+物理定理，几何应用包括：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积和函数的平均值；物理应用包括：功、引力、压力和质心。一压力或浮力问题【物理定理】在水深为h处的压强p=rh，r为液体的比重，如果有一个面积为S的平板水平地放置在深h处，则该平板的一侧受液体的压力为P=pS=rhS，一般地，果有一个面积为S的平板垂直地

2、放b置某液体中，则该平板的一侧受液体的压力为P=òxfx×()×rdx。a对于数学一的考生还会以浮力形式考察三重积分，浮力F=òòòrdV液体或气体t【题型题法】【例1】一底为8Cm，高为6Cm的等腰三角形片，沿直地沉没在水中，顶在上，底在下，且与水面平行，而顶离水面3Cm，试求它每面所受的压力。〖解〗以水面为原点，向右为x正方向，向下为y正方向。画三角型图：顶点为A(0,3)，底左端点为B(-4,9)，底右端点为C(4,9)。62AC直线方程为：y-=3xÞx=(y-3)。则所求压力为：43494dP=rydS=ry×2x

3、dy=ryy(-3)dyÞP=òyy(-3)dy=168(g)。333【例2】边长为aba,,(>b)的矩形薄板，与液面成a角，斜沉入液体内，长边平行于液面而位于深h处，液体密度为g，求薄板每面收到的压力。bg〖解〗dP=ggh(+sina)adxÞP=ògg×(h+sina)×adx=abg(2hb+sina)。02【例3】一横放着的圆柱形水桶，内盛半桶水，设水桶的半径为R，水的相对密度为g，求桶的一个端面所受压力。R222223〖解〗dP=2gxR-xgdx，P=ò2gx×R-xgdx=gRg.03124R23或由物理知

4、识可求P=×gpR×=gR23p312011智轩考研数学专题讲座之考研数学中的4大物理应用--功、引力、压力、质心二、引力（万有引力或电场力）问题mm12【物理定理】两个质点的万有引力F=G，一般要求是一个质点和一个一维或二维连续2rqq1qq1212体的万有引力计算；两个点电荷的电场力F=k=，一般要求是一个点电荷和一22r4per0个一维或二维连续带电体的电场力计算。【题型题法】【例4】例如在x轴上有一根长为l，均匀质量密度为l的木棒，中心放在原点，在y轴上(0,a)处有一个单位质点，计算万有引力。lldx〖解〗F=0;

5、F=2Gxyòl3-2222(a+x)【例5】在x轴上有一根长为l，均匀电荷密度为l的木棒，中心放在原点，在y轴上(0,a)处有一个单位电荷，计算电场力。l1ldx〖解〗F=0;F=2×xyòl3-24pe0222(a+x)【例6】求火箭脱离地球引力范围所需初速度（地球半径R=6370km）.2mMmMRg〖解〗设M为地球质量，m为火箭质量，微功dW=kdr，在地面上k=mg，所以k=，22rRM22mgR+¥mgR于是dW=dr，W=dr=mgR.r2òRr212令mv³mgR，则v³11.2(kms/)。002【例7】一

6、长为l，质量为M的均匀直棒在它的一端垂线上距棒a点处有一质量为m的质点，求棒对质点的引力。Mkm×l〖解〗dF=dx，F的方向为{,x-a}切线，方向余弦为22(a+x)x-acosa=,cosb=;dF=dFcos,adF=dFcosbxy2222a+xa+xlkmMxkmM22l-kmMakmMF=dx=×(a+l-a);F=dx=-xò0la(2+x23/2)al(a2+l2)yò0la(2+x23/2)a(a2+l2)F=Fi+FjFF,,如上。xyxy2【例8】火星直径为6860km，其表面重力加速度g=3.92/

7、ms，若在火星上发射一枚火箭，初速度为多少能摆脱火星引力的束缚？22011智轩考研数学专题讲座之考研数学中的4大物理应用--功、引力、压力、质心kMm〖解〗设火箭质量为m，火星质量为M，火星半径为R，由万有引力定律，引力f=，当x=02(R+x)时，f=mg，故222RfRgmhRgm211k=,dW=fdx=dx；W=dx=Rgm(-)M(R+x)2ò0(R+x)2RRh+1212令h®+¥，得W=Rgm。来自动能mv，令mv³Rgmv,³2Rg=5.186(kms/).00022三、做功问题b【物理定理】数学23考生一般

8、要求求一维问题的功W=òFdx；aburr数学1考生还要求W=òFdl.（属于第二类曲线积分）形式的功。a【题型题法】3【例9】一密度为gg(>1/gcm)，半径为R的球沉入水中，球的上顶与水面相切，现将球从水中取出需做多少功？222〖解〗只将微元取到水面，所做的微功为dW=(g-1)gy