从函数的定义域谈物理量的极值问题

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1、第34卷第12期物理教师VoI．34N0．122013笠PHYSICSTEACHER(2O13)从函数的定义域谈物理量的极值问题张盘洪(苏州工业园区教师发展中心，江苏苏州215021)1问题的提出所以，当sin(O+9)一1I#,taro音，一~／25m／1．1一道题的两种解法显然，以上两种解法结果不同．但仔细想想两种方法例1．如图1所示，一固定都正确，并且第2种函数法是物理直杆AB长L一2rn，与竖直方解题时的一般方法，问题出在哪向的夹角为0，一质量为一儿呢?4、电荷量为q一+3×1Oc1．2对解法2的补充讨论的小球套在直杆上，球与杆之上面的解法2会不会有问题?间的动摩擦因数为一0．5．

2、直图1因为弹力N也可以垂直于杆向下．杆所在处空间有水平向右的匀如图4，此时球从A下滑至B，图4强电场，场强为E一10N／C，将小球由静止释放．问：当0取多大时，球滑至B端时的速度最大．由动能定理可得解法1：分析法．欲使球滑至B端的速÷Ⅲ=EqsinO·l+mgcosO·l-l~(EqcosO-mgsinO)·，度最大，应使合外力做功最大，即重力、电1场力做正功最多，摩擦力做负功最少．一即÷mT)一100sin0十50cos0=50√5sin(O十)，6般情况下，球受到重力、电场力、弹力和摩1其中tan9-÷．擦力等4个力的作用，由于杆长一定，所以，当mg和Eq的合力与杆平行时，mg所以，当

3、sin(O+9)一1时，tarO=2，一√25√5m／s．和Eq的合力做正功最多，而此时球受到显然，解法2的两种可能情景对应的最值相同，但两的弹力为0，故摩擦力及摩擦力的功均为次的夹角0不同，这也不是应该出现的结果．图20，所以，球滑至B端速最大，如图2所示．1．3究竟发生了什么可求得(1)解法2的两种情况为什么会表现得“不完全相tanO-Eq_mg一手4，容”?4U按理说假设垂直于杆向上为弹力正方向，然后由N—所以目一37~F△一畿一50N．mgsin口一EqcosO，结果的正负就可以说明弹力的方向，不需球从A滑至B，由动能定理可得要分两种情况．但在这里有个实际问题，即这道题并不是1求弹

4、力，而是求摩擦力的功，所以，动能定理表达式中只能÷my一0一F·z．是弹力大小的绝对值．所以，两次结果出现了“不完全相解得一5√2m／s．容”．解法2：函数法．设杆与竖直方(2)解法1与解法2的结果为什么不一样?向夹角为口时，球滑至B端的速度毋庸置疑，解法1的答案肯定是正确的．那么，如何看最大，并设球此时受到垂直于杆向待解法2呢?其实关键是利用数学的方法得到的最大值上的弹力为N，球受力如图3不一定在自变量的变化范围内．若弹力垂直于杆向上，则所示．要求EqcosO≤mgsinO，即tan0≥÷，即0≥37。，这就是球从A滑至B，由动能定理1可得图3-5-my。=Z0sin0十1lOcosO=

5、50√5sin(O+)的定义域．若单1mu2一。一Eqsin目·l+mgc。s·1-fz(mgsin日o纯从数学角度考虑，当sin(04)：1时，即tan0一音时EqcosO)·1．(一10．3。)取最大值，可见角已经不在定义域里了．同理即—1mu2—2osin0+110c。s目一5o~厂in(+)，可得，弹力垂直于杆朝下时，当tan0=2，即口一63．43。取最其中ta“—11大值，而此时要求口≤37。，可见口也不在定义域里．所以才．会出现解法2与解法1的答案不一样．那么，由解法2可以得到正确结果吗?Vo1．34No．12物理教师第34卷第l2期(2O13)PHYSICSTEACHER2

6、013年(3)解法1与解法2的统一．7+25，解得￡一8s．对于解法2，只要结合定义域进行讨论，就可以得到正当然，这题似乎不能算作是最值题，但却很好地说明确结果．了物理和数学的区别以及物理量的定义域对解题的影响．12．2船渡河问题中的最小航程当弹力垂直于杆向上时，≥37。，则Ek：÷m一例3．一小船在静水中的速度为3m／s，它在一条宽20sin0+110cos0=50√5sin(8+)，作Ek一0图如图5所150m，水流速度为6m／s的河流中渡河，则该小船渡河的1最短航程为多少?示，可见，当一37。时，动能最大，速度也最大．_去Im一解析：如图8，讨论船渡河的一般情况．设合速度与河20si

7、n37。+1i0cos37。，解得=5~／m／s．，岸的夹角为0，河宽为d，航程为s．则一，所以当sin0=1¨IU设弹力垂直于杆向下，此时≤37。，则E=÷m。一1，口一90。时，8⋯一d．100sin0+50cos0=50、／5sin(+∞)，作Ek一图如图6所1示，可见，当—37。时，动能最大，速度也最大．÷m仉一50cos37。+100sin37。，解得：5√2m／s．口水kk图8其实，sin0=1是仅从数学角度